Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點0′（-2，-3）為圓心，5為半徑的圓交x軸于A、B兩點，過點B作⊙O′的切線，交y軸于點C，過點0′作x軸的垂線MN，垂足為D，一條拋物線（對稱軸與y軸平行）經(jīng)過A、B兩點，且頂點在直線BC上．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設(shè)拋物線與y軸交于點P，在拋物線上是否存在一點Q，使四邊形DBPQ為平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求直線BC的解析式，首先要求出的是B、C的坐標(biāo)，即OB、OC的長；連接O′B，在直角三角形O′DB中可根據(jù)O′D及半徑的長用勾股定理求出DB的長，然后根據(jù)OD的長即O′橫坐標(biāo)的絕對值求出OB的長，即可求出B的坐標(biāo)．求OC長，可根據(jù)△BOC∽△O′DB得出的比例線段來求出．求出B、C的坐標(biāo)后，可用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式．
（2）由于拋物線過A、B兩點，根據(jù)拋物線的對稱性進可得出拋物線的對稱軸為x=-2，又已知拋物線的頂點在直線BC上，由此可求出拋物線頂點的坐標(biāo)．然后用頂點式的二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，然后將B點坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式．
（3）可根據(jù)（2）得出的拋物線的解析式，求出P點的坐標(biāo)．由于四邊形DBPQ為平行四邊形，那么DP平行且相等于DB，因此可將P點坐標(biāo)左移DB長即4個單位，即可得出Q點，然后將Q點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判斷出Q點是否在拋物線上．

解答：解：（1）連接O′B
∵O′（-2，-3），MN過點O′且與x軸垂直
∴O′D=3，OD=2，AD=BD=

1

2

AB
∵⊙O′的半徑為5
∴BD=AD=4
∴OA=6，OB=2
∴點A、B的坐標(biāo)分別為（-6，0）、（2，0）
∵BC切⊙O′于B
∴O′B⊥BC
∴∠OBC+∠O′BD=90°
∵∠O′BD+∠BO′D=90°
∴∠OBC=∠BO′D
∵∠BOC=∠BDO′=90°
∴△BOC∽△O′DB
∴

OB

O′D

=

OC

BD

∴OC=

OB•BD

O′D

=

2×4

3

=

8

3

∴點C的坐標(biāo)為（0，

8

3

）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b
∴

b= 8 3 2k+b=0

解得

k=- 4 3 b= 8 3

∴直線BC的解析式為y=-

4

3

x+

8

3

；

（2）由圓和拋物線的對稱性可知MN是拋物線的對稱軸，
∴拋物線頂點的橫坐標(biāo)為-2
∵拋物線的頂點在直線y=-

4

3

x+

8

3

上
∴y=

16

3

即拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2，

16

3

）
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+6）（x-2）
得

16

3

=a（-2+6）（-2-2）
解得a=-

1

3

∴拋物線的解析式為y=-

1

3

（x+6）（x-2）=-

1

3

x²-

4

3

x+4；

（3）由（2）得拋物線與y軸的交點P的坐標(biāo)為（0，4），
若四邊形DBPQ是平行四邊形，
則有BD∥PQ，BD=PQ，
∴點Q的縱坐標(biāo)為4
∵BD=4
∴PQ=4
∴點Q的橫坐標(biāo)為-4
∴點Q的坐標(biāo)為（-4，4）
∴當(dāng)x=-4時，y=-

1

3

x²-

4

3

x+4=-

1

3

×16+

16

3

+4=4
∴點Q在拋物線上
∴在拋物線上存在一點Q（-4，4），使四邊形DBPQ為平行四邊形．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、平行四邊形的判定等知識點，綜合性強，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．