Question

【題目】如圖1，已知扇形MON的半徑為，∠MON=90°，點(diǎn)B在弧MN上移動(dòng)，聯(lián)結(jié)BM，作OD⊥BM，垂足為點(diǎn)D，C為線段OD上一點(diǎn)，且OC=BM，聯(lián)結(jié)BC并延長(zhǎng)交半徑OM于點(diǎn)A，設(shè)OA=x，∠COM的正切值為y.

（1）如圖2，當(dāng)AB⊥OM時(shí)，求證：AM=AC；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（3）當(dāng)△OAC為等腰三角形時(shí)，求x的值.

Answer 1

【答案】 (1)證明見解析;(2) .();(3) .

【解析】分析：（1）先判斷出∠ABM=∠DOM，進(jìn)而判斷出△OAC≌△BAM，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出BD=DM，進(jìn)而得出，進(jìn)而得出AE=，再判斷出，即可得出結(jié)論；

（3）分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論．

詳解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．

∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．

∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，

∴AC=AM．

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交OM于點(diǎn)E．

∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．

∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．

∵DE∥AB，∴，

∴．（）

（3）（i） 當(dāng)OA=OC時(shí)．∵．在Rt△ODM中，．

∵．解得，或（舍）．

（ii）當(dāng)AO=AC時(shí)，則∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此種情況不存在．

（ⅲ）當(dāng)CO=CA時(shí)，則∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此種情況不存在．

即：當(dāng)△OAC為等腰三角形時(shí)，x的值為．