Question

【題目】下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“已知底邊及底邊上的中線(xiàn)作等腰三角形”的尺規(guī)作圖過(guò)程．

已知：如圖 1，線(xiàn)段 a 和線(xiàn)段 b．

求作：△ABC，使得 AB = AC，BC = a，BC 邊上的中線(xiàn)為 b．

作法：如圖 ，

① 作射線(xiàn) BM，并在射線(xiàn) BM 上截取 BC = a；

② 作線(xiàn)段 BC 的垂直平分線(xiàn) PQ，PQ 交 BC 于 D；

③ 以 D 為圓心，b 為半徑作弧，交 PQ 于 A；

④ 連接 AB 和 AC．

則△ABC 為所求作的圖形．

根據(jù)上述作圖過(guò)程，回答問(wèn)題：

（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖 2 中的圖形；

（2）完成下面的證明：

證明：由作圖可知 BC = a，AD = b．

∵ PQ 為線(xiàn)段 BC 的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn) A 在 PQ 上，

∴ AB = AC（ ）（填依據(jù)）．

又∵線(xiàn)段 BC 的垂直平分線(xiàn) PQ 交 BC 于 D，

∴ BD=CD．（ ）（填依據(jù)）．

∴ AD 為 BC 邊上的中線(xiàn)，且 AD = b．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等；等腰三角形三線(xiàn)合一.

【解析】

（1）根據(jù)題意尺規(guī)作圖即可；

（2）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

（1）如圖：△ABC為所求；

（2）證明：由作圖可知 BC = a，AD = b．

∵ PQ 為線(xiàn)段 BC 的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn) A 在 PQ 上，

∴ AB = AC（垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等）．

又∵線(xiàn)段 BC 的垂直平分線(xiàn) PQ 交 BC 于 D，

∴ BD=CD．（等腰三角形三線(xiàn)合一）

∴ AD 為 BC 邊上的中線(xiàn)，且 AD = b．

故填：垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等；等腰三角形三線(xiàn)合一.