Question

【題目】定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形為“等對(duì)邊四邊形”．

（1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是“等對(duì)邊四邊形”的名稱；

（2）如圖1，四邊形ABCD是“等對(duì)邊四邊形”，其中AB=CD，邊BA與CD的延長線交于點(diǎn)M，點(diǎn)E、F是對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)，若∠M=60°，求證：EFAB；

（3）如圖2．在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，且滿足∠DBC=∠ECB∠A，線段CE、BD交于點(diǎn)．

①求證：∠BDC=∠AEC；

②請(qǐng)?jiān)趫D中找到一個(gè)“等對(duì)邊四邊形”，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）如：平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等；（2）證明見解析；（3）①證明見解析；②四邊形EBCD是等對(duì)邊四邊形．證明見解析．

【解析】

（1）理解等對(duì)邊四邊形的圖形的定義，有平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等，可得出答案．

（2）取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)EN，FN，由中位線定理可得EN＝12CD，FN＝12AB，可證明△EFN為等邊三角形，則結(jié)論得證；

（3）①證明∠EOB＝∠A，利用四邊形內(nèi)角和可證明∠BDC＝∠AEC；

②作CG⊥BD于G點(diǎn)，作BF⊥CE交CE延長線于F點(diǎn)．根據(jù)AAS可證明△BCF≌△CBG，則BF＝CG，證明△BEF≌△CDG，可得BE＝CD，則四邊形EBCD是“等對(duì)邊四邊形”．

（1）如：平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等．

（2）如圖1，取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)EN，FN，

∴ENCD，FNAB，

∴EN=FN．

∵∠M=60°，

∴∠MBC+∠MCB=120°．

∵FN∥AB，EN∥MC，

∴∠FNC=∠MBC，∠ENB=∠MCB，

∴∠ENF=180°﹣120°=60°，

∴△EFN為等邊三角形，

∴EF=FNAB．

（3）①證明：∵∠BOE=∠BCE+∠DBC，∠DBC=∠ECB∠A，

∴∠BOE=2∠DBC=∠A．

∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EOD=360°，∠BOE+∠EOD=180°，

∴∠AEC+∠ADB=180°．

∵∠ADB+∠BDC=180°，

∴∠BDC=∠AEC；

②解：此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形EBCD．

如圖2，作CG⊥BD于G點(diǎn)，作BF⊥CE交CE延長線于F點(diǎn)．

∵∠DBC=∠ECB∠A，BC=CB，∠BFC=∠BGC=90°，

∴△BCF≌△CBG(AAS)，

∴BF=CG．

∵∠BEF=∠ABD+∠DBC+∠ECB，∠BDC=∠ABD+∠A，

∴∠BEF=∠BDC，

∴△BEF≌△CDG(AAS)，

∴BE=CD，

∴四邊形EBCD是等對(duì)邊四邊形．