Question

已知正方形OABC的面積為4，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)y=

k

x

(x＞0，k＞0)的圖象上，點(diǎn)P（m，n）是函數(shù)y=

k

x

(x＞0，k＞0)的圖象上任意一點(diǎn)．過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．若設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值；
（2）當(dāng)S=

8

3

時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)得OA=AB=2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；把B（4，4）代入y=

k

x

中，即可求出k；
（2）分類：P（m，n）在y=

4

x

上，得到mn=4，當(dāng)x＞2，S=AE•PE=（m-2）•n=mn-2n=4-2n=

8

3

，解得n=

2

3

；當(dāng)0＜x≤2，S=P′F′•F′C=m（n-2）=mn-2m=4-2m=

8

3

，解得m=

2

3

，即可確定P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由（2）得易得到S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式：當(dāng)x＞2，S=（m-2）•n，當(dāng)0＜x≤2，S=m（n-2）．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面積為4，即OA=AB=2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；
把B（2，2）代入y=

k

x

中，得k=2×2=4；
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），k的值為4；

（2）如圖，
∵P（m，n）在y=

4

x

上，
∴mn=4，
當(dāng)x＞2，
∴S=AE•PE=（m-2）•n=mn-2n=4-2n=

8

3

，
解得n=

2

3

，則m=6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，

2

3

）；
當(dāng)0＜x≤2，
∴S=P′F′•F′C=m（n-2）=mn-2m=4-2m=

8

3

，
解得m=

2

3

，則n=6，
∴P′點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

3

，6）；
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，

2

3

）或（

2

3

，6）；

（3）由（2）得
當(dāng)x＞2，S=（m-2）•n=mn-2n=4-2•

4

m

=

4m-8

m

；
當(dāng)0＜x≤2，S=m（n-2）=mn-2m=4-2m．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題的解法：先利用待定系數(shù)法確定反比例的解析式，那么圖象上所有點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的乘積為定值．也考查了矩形的性質(zhì)以及分類討論思想的運(yùn)用．