Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OBC的兩條直角邊分別落在x軸、y軸上，且OB=1,OC=3,將△OBC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAE，將△OBC沿y軸翻折得到△ODC，AE與CD交于點(diǎn)F.

（1）若拋物線過點(diǎn)A、B、C, 求此拋物線的解析式;
（2）求△OAE與△ODC重疊的部分四邊形ODFE的面積;
（3）點(diǎn)M是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)M在何處時△AMC的面積最大？最大面積是多少？求出此時點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1）過點(diǎn)A,B,C的拋物線的解析式；
（2）S_{四邊形ODFE}= ；
（3）當(dāng)時，，△AMC的面積有最大值，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為()．

試題分析：（1）由題意易得點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點(diǎn)D及點(diǎn)E的坐標(biāo)，繼而得出直線AE與直線CD的解析式，聯(lián)立求出點(diǎn)F坐標(biāo)，根據(jù)S_{四邊形ODFE}=S_△AOE﹣S_△ADF，可得出答案．
（3）連接OM，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），繼而表示出△AMC的面積，利用配方法確定最值，并得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
試題解析：(1)∵OB=1，OC="3" ，
∴C(0，-3)，B(1，0)，
∵△OBC繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAE，
∴A(-3,0)，
所以拋物線過點(diǎn)A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0)，
設(shè)拋物線的解析式為，可得
解得，
∴過點(diǎn)A,B,C的拋物線的解析式；
(2) ∵△OBC繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAE，△OBC沿y軸翻折得到△COD，
∴E（0，-1），D（-1,0），
可求出直線AE的解析式為,直線DC的解析式為，
∵點(diǎn)F為AE、DC交點(diǎn)，
∴F（，），
∴S_{四邊形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF=；
（3）連接OM，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)M在拋物線上，∴，
∴
=

∵，
∴當(dāng)時，，△AMC的面積有最大值，
所以當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為()時，△AMC的面積有最大值．