Question

【題目】如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．

求證：
（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD
（3）OE是線段CD的垂直平分線．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴ED=EC，即△CDE為等腰三角形，

∴∠ECD=∠EDC

（2）

證明：∵點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，

∴△OED≌△OEC（AAS），

∴OC=OD

（3）

證明：∵OC=OD，且DE=EC，

∴OE是線段CD的垂直平分線．

【解析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可證ED=EC，從而可知△CDE為等腰三角形，可證∠ECD=∠EDC；
（2）由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可證△OED≌△OEC，可得OC=OD；
（3）根據(jù)ED=EC，OC=OD，可證OE是線段CD的垂直平分線．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解角平分線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．