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        1. 【題目】已知:二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸是直線x=1,且圖象向右平移一個單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點O,

          (1)求這個二次函數(shù)的解析式;

          (2)直線交y軸于D點,E為拋物線頂點.若∠DBC=α,∠CBE=β,求α-β的值.

          (3)在(2)問的前提下,P為拋物線對稱軸上一點,且滿足PA=PC,在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點M,使得△BDM的面積等于PA2若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)這個二次函數(shù)的解析式為;

          (2)α-β=45°

          (3)綜上所述,存在符合條件的點M其坐標(biāo)為.

          【解析】分析: (1)根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可求得點B的坐標(biāo),將它們代入拋物線的解析式中,通過聯(lián)立方程組求得待定系數(shù)的值,即可確定該拋物線的解析式;

          (2)根據(jù)拋物線和直線BD的解析式,可求得C、D、E的坐標(biāo),即可得到∠OBC=∠OCB=45 °;所求角的度數(shù)差可轉(zhuǎn)化為∠OBC的度數(shù);在Rt△OBC中,已經(jīng)求得∠OBC=∠OCB=45 °,由此得解;

          (3)易知拋物線的對稱軸方程,可設(shè)出點P的解析式,求出點P的坐標(biāo),進(jìn)而得到PA的值,即可求得△BDM的面積.可用面積割補法求解.

          本題解析:

          (1)由題意,A(-1,0)

          對稱軸是直線x=1

          ∴B(3,0)

          把A(-1,0),B(3,0)分別代入y=ax-2x+c得

          解得

          ∴這個二次函數(shù)的解析式為y=x-2x-3

          (2) ∵直線 與y軸交于D(0,1), ∴OD=1

          由Y=X-2X-3=(x-1)-4得E91,-4)

          連接CE過E作EF⊥y軸于F(如圖1),則EF=1

          ∵拋物線y=x-2x-3與y軸交于C90,-3

          ∴OC=OB=3,CF=1=EF

          (如圖1)

          ∴∠OBC=∠OCB=∠FCE=45°,

          BC=,CE=

          ∴∠BCE=90°=∠BOD, ,

          ∴△BOD∽△BCE

          ∴∠CBF=∠DBO

          (3)設(shè)P(1,n)

          ∵PA=PC

          ∴PA=PC, 即(1+1)+(n-0)=(1+0)+(n+3)

          解得n=-1

          ∴PA=(1+1)+(-1-0)=5

          方法一:設(shè)存在符合條件的點M(m,m-2m-3),則m>0

          ①當(dāng)M在直線BD上側(cè)時,連接OM(如圖1),

          整理,得

          解得 (舍去),

          代入

          ②當(dāng)M在直線BD下側(cè)時,不妨叫連接 (如圖1),

          整理,得

          解得 (舍去)

          把m=2代入 得y=-3

          綜上所述,存在符合條件的點M其坐標(biāo)為或(2,-3).

          方法二:設(shè)存在符合條件的點,則m>0

          ①當(dāng)M在直線BD上側(cè)時,過M作MG∥y軸,交DB于G(如圖2)

          設(shè)D、B到MG距離分別為

          , ,

          整理,得

          解得 (舍去),

          代入y=m-2m-3得y=

          ∴M()

          ②當(dāng)M在直線BD下側(cè)時,不妨叫過∥y軸,交DB于 (如圖2)

          設(shè)D、B到距離分別為

          整理,得3m-5m-2=0

          解得 (舍去)

          把m=2代入y=m-2m-3得y=-3

          綜上所述,存在符合條件的點M其坐標(biāo)為或(2,-3)

          方法三:①當(dāng)M在直線BD上側(cè)時,過M作MH∥BD交y軸于H,連接BH(如圖3)

          ,即

          ∴DH=

          ∴H(0, )

          ∴直線BH解析式為y=

          聯(lián)立

          M在y軸右側(cè), ∴M坐標(biāo)為

          ②當(dāng)M在直線BD下側(cè)時,不妨叫∥BD,交y軸于,

          連接B (如圖3),同理可得D=

          (0, )

          ∴直線 解析式為

          聯(lián)立

          在y軸右側(cè),∴坐標(biāo)為(2,-3)

          綜上所述,存在符合條件的點M,其坐標(biāo)為或(2,-3).

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          (1)在利用以上基本事實作為依據(jù)來證明命題兩直線平行,內(nèi)錯角相等時,必須要用的基本事實有____(填入序號即可);

          (2)根據(jù)在(1)中的選擇,結(jié)合所給圖形,請你證明命題兩直線平行,內(nèi)錯角相等

          已知:如圖,_____________________________

          求證:________.

          證明:____________________.

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