Question

【題目】如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置，此時AC′的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB′交CD于點(diǎn)E．若AB=6，則△AEC的面積為_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)后AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋轉(zhuǎn)后矩形與已知矩形全等及矩形的性質(zhì)得到∠DAE為30°，進(jìn)而得到∠EAC=∠ECA，利用等角對等邊得到AE=CE，設(shè)AE=CE=x，表示出AD與DE，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出EC的長，即可求出三角形AEC面積．

詳解：∵旋轉(zhuǎn)后AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，即AD=AC′=AC，

∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，

∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，

∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE．

在Rt△ADE中，設(shè)AE=EC=x，

則有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=×6=2，

根據(jù)勾股定理得：x2=（6﹣x）2+（2）2，

解得：x=4，∴EC=4，

則S△AEC=ECAD=4．

故答案為：4．