Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系可中，直線y＝x+1與y＝﹣x+3交于點(diǎn)A，分別交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

(2)在直線AB上是否存在點(diǎn)E使得四邊形EODA為平行四邊形？存在的話直接寫出的值，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)直接寫出D坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)A(，)，B(﹣1，0)，C(4，0)；(2)存在，=；(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣，)或(8，﹣3)或(0，3)或(，)．

【解析】

(1)將y＝x+1與y＝﹣x+3聯(lián)立求得方程組的解可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將y＝0代入函數(shù)解析式求得對(duì)應(yīng)的x的值可得到點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)；

(2)當(dāng)OE∥AD時(shí)，存在四邊形EODA為平行四邊形，然后依據(jù)平行線分線段成比例定理可得到=；

(3)當(dāng)DB＝DC時(shí)，點(diǎn)D在BC的垂直平分線上可先求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；即AC與y軸的交點(diǎn)為F，可求得CF＝BC＝F，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合或點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱時(shí)，三角形BCD為等腰三角形，當(dāng)BD＝BC時(shí)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，﹣x+3)，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：(x+1)2+(﹣x+3)2＝25，從而可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．

(1)將y＝x+1與y＝﹣x+3聯(lián)立得：，

解得：x＝，y＝，

∴A(，)．

把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣1，

∴B(﹣1，0)．

把y＝0代入y＝﹣x+3得：﹣ x+3＝0，解得：x＝4，

∴C(4，0)．

(2)如圖，存在點(diǎn)E使EODA為平行四邊形．

∵EO∥AC，

∴==．

(3)當(dāng)點(diǎn)BD＝DC時(shí)，點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，

將x＝代入直線AC的解析式得：y＝，

∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)．

如圖所示：

FC＝＝5，

∴BC＝CF，

∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合時(shí)，△BCD為等腰三角形，

∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，3)；

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱時(shí)，CD＝CB，

∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8，﹣3)，

當(dāng)BD＝DC時(shí)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，﹣x+3)，

依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：(x+1)2+(﹣x+3)2＝25，

解得x＝4(舍去)或x＝﹣，

將x＝﹣代入y＝﹣x+3得y＝，

∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣，)．

綜上所述點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣，)或(8，﹣3)或(0，3)或(，)．