Question

【題目】如圖.點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，⊙O是△ABD的外接圓，交AC于點(diǎn)F. DE平分∠ADC，交AC于點(diǎn)E.

求證：DE是⊙O的切線；

若CE=4，DE=2，求⊙O的直徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）5

【解析】（1）連接BF，OD，利用三角形中位線定理證明OD∥AC，再證明OD⊥DE即可.

（2）先證FD垂直平分BC ，再由Rt△DFE∽R(shí)t△CDE求出FE.

解：（1）連接BF，OD

∵∠BAC=90°

∴BF為直徑，O為BF中點(diǎn).

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

∴OD是△BFC的中位線，即OD∥AC.

∵點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)

∴△ADC是等腰三角形

∵DE平分∠ADC

∴DE⊥AC

∴OD⊥DE，即DE是⊙O的切線

（2）連接DF.

∵BF為直徑

∴FD⊥BC

又∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

∴FD垂直平分BC 即BF=FC

由Rt△DFE∽Rt△CDE

即. FE=1

∴BF=FC=FE+EC=5

“點(diǎn)睛”考查了切線的判定定理，涉及的知識(shí)有，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線的判定方法有兩種：有點(diǎn)連接證垂直；無(wú)點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于半徑.