Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別交于點(diǎn)D、E，則線段DE長度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】4.8

【解析】

設(shè)DE的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為P，連接FP，連接CF，CP，則有FP⊥AB；FC+FP＝DE，由三角形的三邊關(guān)系知，CF+FP＞CP；只有當(dāng)點(diǎn)F在CP上時(shí)，FC+FP＝PC有最小值為CP的長，即當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高CP上時(shí)，DE＝CP有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時(shí)CP＝BCAC÷AB＝4.8．

解：如圖，設(shè)DE的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為P，連接FP，連接CF，CP，則FP⊥AB．

∵AB＝10，，

∴AC＝8，BC＝6

∵∠ACB＝90°，

∴FC+FP＝DE，

∴CF+FP＞CP，

∵當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高CP上時(shí)，PC＝DE有最小值，

∴DE＝CP＝＝4.8

故答案為4.8．