Question

【題目】如圖,在菱形中,=60°, AB=2,點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn),作∠EDQ=60°交BC于點(diǎn)Q,點(diǎn)P在AD上,PD=PE.

（1）求證：AE=BQ；

（2）連接PQ, EQ,當(dāng)∠PEQ=90°時(shí),求的值；

（3）當(dāng)AE為何值時(shí),△PEQ是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）=；（3）AE為或2

【解析】

（1）連結(jié)DB，根據(jù)“ASA”證明△ADE≌△BDQ即可；

（2）先證明△DEQ是等邊三角形，可得∠DEQ=60°，進(jìn)而可證明∠AED＝90°，根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)兩平行線(xiàn)間的距離相等求出PQ的長(zhǎng)，即可求出的值；

（3）分三種情況討論求解：①當(dāng)QP=QE時(shí)，②當(dāng)PE=QE時(shí)，③當(dāng)PE=PQ時(shí).

解：（1）連結(jié)DB,

∵四邊形ABCD為菱形,∠A＝60°,

∴AD=AB＝DB,∠DBQ＝∠A＝60°.

∴∠ADB＝60°.

∵∠EDQ=60°,

∴∠ADE＝∠BDQ.

∴△ADE≌△BDQ.

∴AE=BQ.

（2）如圖，

∵△ADE≌△BDQ,

∴DE=DQ.

∵∠EDQ=60°，

∴△DEQ是等邊三角形，

∴∠DEQ=60°，DE=EQ=DQ.

∵∠PEQ=90°,

∴∠PED＝30°.

∵PD=PE,

∴∠PDE＝∠PED＝30°.

∴∠AED＝90°.

∵AD=2,

∴DE＝.

∵PD=PE, EQ=DQ,

∴PQ是DE的中垂線(xiàn),

∴PQ= AB=2.

∴=.

（3）①當(dāng)QP=QE時(shí),如圖1,

∵∠EQP＝∠DQP＝30°,

∴∠QPE＝∠QEP＝∠PDQ ＝75°.

∴∠PED＝∠PDE＝15°,

∴∠APE＝30°,

∴∠AEP＝90°.

∴AP＝2AE,PE＝PD＝AE,

∴AE＋2AE=2,

∴AE＝.

②當(dāng)PE=QE時(shí),

∵△DEQ是正三角形，

∴△PDE是正三角形,∠ADE＝60°,

點(diǎn)E與點(diǎn)B重合,如圖2,

∴AE=2.

③當(dāng)PE=PQ時(shí),

∵∠EQP＝30°,

∴∠PEQ=30°，由圖可知∠PEQ≥60°,

∴點(diǎn)E不存在.

綜上所述,當(dāng)AE為或2時(shí),△PEQ是等腰三角形.