Question

如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，連接OA．
（1）OA=OB=OC成立嗎？請(qǐng)說明理由．
（2）如圖2，若點(diǎn)M，N分別在線段AB，AC上移動(dòng)，在移動(dòng)中始終保持AN=BM，△OAN≌△OBM成立嗎？，并說明理由．
（3）如圖3，若點(diǎn)M，N分別在線段BA．AC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，在移動(dòng)中始終保持AN=BM，請(qǐng)判斷△OMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AO=

1

2

BC進(jìn)而得出OA=OB=OC；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠OAN=45°，AO=BO，進(jìn)而得出答案；
（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠OAN=45°，AO=BO，進(jìn)而得出△OAN≌△OBM，△OMN是等腰直角三角形．

解答：解：（1）成立．
理由：∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)
∴BO=CO=

1

2

BC，
∵∠BAC=90°
∴AO=

1

2

BC，
∴OA=OB=OC；

（2）成立．
理由：∵O是BC的中點(diǎn)
∴AO是Rt△ABC的BC邊上的中線
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∴∠B=∠OAN=45°，AO=BO，
∵在△OAN和△OBM中，

AN=BM ∠NAO=∠B AO=BO

，
∴△OAN≌△OBM（SAS）；

（3）△OMN是等腰直角三角形；
理由：∵O是BC的中點(diǎn)
∴AO是Rt△ABC的BC邊上的中線
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∴∠B=∠OAN=45°，AO=BO，
∵AN=BM，
∴AN=BM，
∵在△OAN和△OBM中，

AN=BM ∠NAO=∠B AO=BO

，
∴△OAN≌△OBM（SAS）；
∴OM=ON，∠AOM=CON，
∴∠MON=∠MOC+∠CON=∠MOC+∠AOM=∠AOC=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△OAN≌△OBM是解題關(guān)鍵．