Question

【題目】在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，如圖1，再在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒，底面為矩形EFGH，如圖2．設小正方形的邊長為x厘米．

（1）當矩形紙板ABCD的一邊長為90厘米時，求紙盒的側面積的最大值；
（2）當EH：EF=7：2，且側面積與底面積之比為9：7時，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵矩形紙板ABCD的一邊長為90cm，

∴矩形紙板的另一邊長為3600÷90=40（cm），

則S側=2[x（90﹣2x）+x（40﹣2x）]=﹣8x2+260x，

=﹣8（x﹣ ）2+ ．

∵﹣8＜0，

∴當x= 時，S側最大=

（2）解：設EF=2m，則EH=7m，

則側面積為2（7mx+2mx）=18mx，底面積為7m2m=14m2，

由題意，得18mx：14m2=9：7，

∴m=x．

則AD=7x+2x=9x，AB=2x+2x=4x

由4x9x=3600，且x＞0，

∴x=10

【解析】（1）最值問題可運用函數(shù)思想解決，設出自變量x,函數(shù)為紙盒的側面積y,構建二次函數(shù)，配成頂點式，求出最大值；（2）用x的代數(shù)式表示出側面積與底面積，根據(jù)9：7，再根據(jù)總面積為3600，建立方程，求出x.