Question

如圖1，在△ABC中，E、D分別為AB、AC上的點(diǎn)，且ED∥BC，O為DC中點(diǎn)，連結(jié)EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則有S_{四邊形EBCD}=S_△EBF．

（1）如圖2，在已知銳角∠AOB內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P．過(guò)點(diǎn)P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N．將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線MN滿足某個(gè)條件時(shí)，△MON的面積存在最小值．直接寫出這個(gè)條件：

 

．
（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)分別為（6，0）、（6，3）、（

9

2

，

9

2

）、（4、2），過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC一組對(duì)邊相交，將四邊形OABC分成兩個(gè)四邊形，求其中以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S_△MON最小，過(guò)點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；
（2）①如圖3①過(guò)點(diǎn)P的直線l 與四邊形OABC 的一組對(duì)邊 OC、AB分別交于點(diǎn)M、N，由（1）的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時(shí)，△MND的面積最小，此時(shí)四邊形OANM的面積最大，S_{四邊形OANM}=S_△OAD-S_△MND；
②如圖3②，過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交M、N，利用S_{四邊形OCMN}=S_△OCT-S_△MNT，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，△MON的面積最�。�
如圖2，
過(guò)點(diǎn)P的另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F，設(shè)PF＜PE，過(guò)點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G，
可以得出當(dāng)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S_{四邊形MOFG}=S_△MON．
∵S_{四邊形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S_△MON最小；
故答案為：當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，△MON的面積最��；

（2）分兩種情況：
①如圖3①過(guò)點(diǎn)P的直線l 與四邊形OABC 的一組對(duì)邊 OC、AB分別交于點(diǎn)M、N．
延長(zhǎng)OC、AB交于點(diǎn)D，
∵C（

9

2

，

9

2

），
∴∠COA=45°，
∴AD=6，S_△OAD=18．
由（1）的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時(shí)，△MND的面積最小，此時(shí)四邊形OANM的面積最大．
過(guò)點(diǎn)P、M分別作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足分別為P₁、M₁．
由題意得M₁P₁=P₁A=2，從而OM₁=MM₁=2． 又P（4，2），B（6，3）
∴P₁A=M₁P₁=O M₁=P₁P=2，M₁ M=OM=2，則四邊形MM₁P₁P是正方形．
∴MN∥OA，∠MND=90°，NM=4，DN=4．求得S_△MND=8，
∴S_{四邊形OANM}=S_△OAD-S_△MND=18-8=10，

②如圖3②，過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交M、N．
延長(zhǎng)CB交x軸于T點(diǎn)，由B、C的坐標(biāo)可得直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 y=-x+9．
則T點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，0）．
∴S_△OCT=

1

2

×9×

9

2

=

81

4

，
由（1）的結(jié)論知：當(dāng)PM=PN時(shí)，△MNT的面積最小，此時(shí)四邊形OCMN的面積最大．
過(guò)點(diǎn)P、M點(diǎn)分別作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足為P₁，M₁．
從而 NP₁=P₁M₁，MM₁=2PP₁=4．
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)P（4、2），P₁M₁=NP₁=1，TN=6．
∴S_△MNT=

1

2

×6×4=12，S_{四邊形OCMN}=S_△OCT-S_△MNT=

81

4

-12=

33

4

＜10．
綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)以及圖形面積求法等知識(shí)，利用分類討論得出四邊形面積最值是解題關(guān)鍵．