Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設(shè)AP＝x，
（1）求AD的長；
（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；
（3）直接寫出：當(dāng)△CDP為等腰三角形時x的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：過點D作DE//BC交AB于點E，
∵BE//CD，DE//BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
又∵BC＝4，
∴DE=BC=4，
∵DE//BC，∠B＝60°，
∴∠DEA=∠B＝60°，
∵AD⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠ADE= 90°-∠DEA=30°，
∴AE=DE=2，
∴AD==2.

（2）解：∵△ADP中，∠A=90°，
∴△PBC是直角三角形，
∵∠B＝60°，
∴∠BPC=90°或∠BCP=90°，
①當(dāng)∠BPC=90°時，△BCP≌△EDA，
∴AE=BP=2，CP=AD=2，
∴AP=x=AB-BP=10-2=8，
∴≠，
又∵∠A=∠BPC=90°，
∴△ADP與△CPB不相似；
②當(dāng)∠BCP=90°時，∠BPC=90°-∠B=30°，
∵BC＝4，AB＝10，
∴BP=2BC=8，AP=x=AB-BP=10-8=2，
∴==2，
又∵∠A=∠BCP=90°，
∴△ADP∽△CPB，
綜上可知，x=2時，結(jié)論成立.
（3）解：①當(dāng)PD=PC時，x=4；
②DP=DC時， x= 2 ；
③PC=CD時，x=8-2.
【解析】解：（3）作CF⊥AB交AB于F，

∵BC＝4，∠B＝60°，
∴BF=BC=2，
∵AB＝10，
∴AF=CD=10-2=8，
∵AP=x，AD=2，
∴PF=8-x，CF=2，
①當(dāng)PD=PC時，
∴AD2+AP2=PF2+CF2，
即x2=（8-x）2，
∴x=4；
②DP=DC=8時，
∴AD2+AP2=DP2，
即12+x2=64，
∴x= 2 ；
③PC=CD=8時，
∴PF2+CF2=PC2，
即12+（8-x）2=64，
∴x=8-2.

【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．