Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）聯(lián)接BC交x軸于點(diǎn)F．y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△POC與△BOF相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

將點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得： ，

解得： ，

故拋物線函數(shù)解析式為：y=x2+2x

（2）解：∵AO為平行四邊形的一邊，

∴DE∥AO，DE=AO，

∵A（﹣2，0），

∴DE=AO=2，

∵四邊形AODE是平行四邊形，

D在對(duì)稱軸x=﹣1的右側(cè)，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為：﹣1+2=1，帶入拋物線解析式得y=3，

∴D的坐標(biāo)為（1，3）

（3）解：在y軸上存在點(diǎn)P，使得△POC與△BOF相似，理由如下：

由y=x2+2x，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，1），

∵tan∠BOF= =1，

∴∠BOF=45°，

當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸時(shí)，tan∠COP= =1，

∴∠COP=45°，

∴∠BOF=∠COP，

設(shè)BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵圖象經(jīng)過B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）

∴ ，

∴ ，

∴y=﹣2x﹣3；

令y=0，則x=﹣1.5．

∴F（﹣1.5，0），

∴OB=3 ，OF=1.5，OC= ，

①當(dāng)△POC∽△FOB時(shí)，

則 = ，

即 = ，

∴OP= ，

∴P（0，﹣ ）；

②當(dāng)△POC∽△BOF時(shí)，

∴ = ，

∴OP=4，

∴P（0，﹣4），

∴當(dāng)△POC與△BOF相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣ ）或（0，﹣4）．

【解析】（1）主要考察拋物線的解析式，只需將已知點(diǎn)代入y=ax2+bx+c（a≠0），即可解出a、b、c帶入原式得到拋物線的解析式。
（2）把拋物線和平行四邊形結(jié)合起來考察，利用平行四邊形的特征找到于AO平行且相等的線段，且兩端點(diǎn)分別在拋物線和拋物線的對(duì)稱軸上，由對(duì)稱軸得出橫坐標(biāo)，代入拋物線方程解出D點(diǎn)坐標(biāo)，解題思路主要是平行四邊形性質(zhì)結(jié)合拋物線方程。
（3）相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值相等，解題思路利用拋物線解出過點(diǎn)AB的方程，根據(jù)直線方程得到F坐標(biāo)，三角形要相似，對(duì)應(yīng)邊的比值要相等，從而找到P點(diǎn)坐標(biāo)，此題主要考察三角形相似的性質(zhì)，直線方程與拋物線結(jié)合，還用到解直角三角形。整個(gè)大題最容易被扣分的就是有多種情況，容易做漏，所以我們?cè)诳紤]時(shí)應(yīng)該假設(shè)多種情況一一排除。