Question

如圖，在直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6,8）將OP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′.

（1）在圖中畫出OP′；
（2）點(diǎn)P′的坐標(biāo)為              ；
（3）求線段PP′的長(zhǎng)度.

Answer 1

（1）作圖見解析; （2）（8，6）; （3）10．

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，在x軸正半軸上截取OB=PA，過(guò)點(diǎn)B作BP′⊥x軸，使BP′=OA，連接OP′，即為所求；
（2）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)求出OA、PA，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OP=OP′，然后求出∠APO=∠BOP′，利用“角角邊”證明△AOP和△BP′O全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OB=PA，P′B=OA，然后寫出點(diǎn)P′的坐標(biāo)即可；
（3）利用勾股定理列式求出OP，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得PP′=OP．
試題解析：（1）OP′如圖所示:

（2）如圖，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6，8），∴OA=6，PA=8.
∵旋轉(zhuǎn)角是90°，∴∠AOP+∠BOP′=90°.
∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠APO=∠BOP′.
在△AOP和△BP′O中，∠APO＝∠BOP′, ∠PAO＝∠OBP′＝90°, OP＝OP′,
∴△AOP≌△BP′O（AAS）.∴OB=PA=8，P′B=OA=6.
∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（8，6）.
（3）由勾股定理得，OP=,
∴PP′=OP=10．