Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC邊上一點(diǎn)，直線DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直線DE于F．設(shè)CD=x．
（1）當(dāng)x=1時(shí)，求四邊形EACF的面積；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形EACF是菱形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥BC，∠ACB=90°
∴EF∥AC
∵CF∥AB
∴?EACF的面積=2×1=2

（2）由（1）可知四邊形EACF是平行四邊形，
則∠A=∠CFD，EF∥AC，
故∠ACB=∠FDC，
故△ABC∽△FCD，
即AB：CF=BC：CD
又∵AB==（勾股定理），BC=3
所以當(dāng)CF=AC=2時(shí)，EACF是菱形．
∴：2=3：CD
所以x=CD=時(shí)，?EACF是菱形．
分析：（1）先判定四邊形EACF是?，所以?EACF的面積=2×1=2；
（2）再根據(jù)△ABC∽△CFD中的AB：CF=BC：CD，得到：2=3：CD，解得CD=時(shí)，?EACF是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定及性質(zhì)．要掌握其性質(zhì)才會(huì)靈活運(yùn)用．要會(huì)根據(jù)相似三角形中的比例線段列方程求解．