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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y= x2 x﹣ 與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)E(4,n)在拋物線上.

          (1)求直線AE的解析式;
          (2)點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn),連接PC,PE.當(dāng)△PCE的面積最大時(shí),連接CD,CB,點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn),點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn),點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn),求KM+MN+NK的最小值;
          (3)點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn),將拋物線y= x2 x﹣ 沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F.在新拋物線y′的對(duì)稱軸上,是否存在一點(diǎn)Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          【答案】
          (1)

          解:∵y= x2 x﹣ ,

          ∴y= (x+1)(x﹣3).

          ∴A(﹣1,0),B(3,0).

          當(dāng)x=4時(shí),y=

          ∴E(4, ).

          設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得: ,

          解得:k= ,b=

          ∴直線AE的解析式為y= x+


          (2)

          解:設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣ ,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得:4m﹣ = ,解得:m=

          ∴直線CE的解析式為y= x﹣

          過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸,交CE與點(diǎn)F.

          設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x2 x﹣ ),則點(diǎn)F(x, x﹣ ),

          則FP=( x﹣ )﹣( x2 x﹣ )= x2+ x.

          ∴△EPC的面積= ×( x2+ x)×4=﹣ x2+ x.

          ∴當(dāng)x=2時(shí),△EPC的面積最大.

          ∴P(2,﹣ ).

          如圖2所示:作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對(duì)稱點(diǎn)G、H,連接G、H交CD和CP與N、M.

          ∵K是CB的中點(diǎn),

          ∴k( ,﹣ ).

          ∵點(diǎn)H與點(diǎn)K關(guān)于CP對(duì)稱,

          ∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為( ,﹣ ).

          ∵點(diǎn)G與點(diǎn)K關(guān)于CD對(duì)稱,

          ∴點(diǎn)G(0,0).

          ∴KM+MN+NK=MH+MN+GN.

          當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時(shí),KM+MN+NK有最小值,最小值=GH.

          ∴GH= =3.

          ∴KM+MN+NK的最小值為3.


          (3)

          解:如圖3所示:

          ∵y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F,

          ∴點(diǎn)F(3,﹣ ).

          ∵點(diǎn)G為CE的中點(diǎn),

          ∴G(2, ).

          ∴FG= =

          ∴當(dāng)FG=FQ時(shí),點(diǎn)Q(3, ),Q′(3, ).

          當(dāng)GF=GQ時(shí),點(diǎn)F與點(diǎn)Q″關(guān)于y= 對(duì)稱,

          ∴點(diǎn)Q″(3,2 ).

          當(dāng)QG=QF時(shí),設(shè)點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(3,a).

          由兩點(diǎn)間的距離公式可知:a+ = ,解得:a=﹣

          ∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(3,﹣ ).

          綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3, )或′(3, )或(3,2 )或(3,﹣ ).


          【解析】(1)拋物線的解析式可變形為y= (x+1)(x﹣3),從而可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),然后再求得點(diǎn)E的坐標(biāo),設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入求得k和b的值,從而得到AE的解析式;(2)設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣ ,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入求得m的值,從而得到直線CE的解析式,過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸,交CE與點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x2 x﹣ ),則點(diǎn)F(x, x﹣ ),則FP= x2+ x.由三角形的面積公式得到△EPC的面積=﹣ x2+ x,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得x的值,從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo),作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對(duì)稱點(diǎn)G、H,連接G、H交CD和CP與N、M.然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得到點(diǎn)G和點(diǎn)H的坐標(biāo),當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時(shí),KM+MN+NK有最小值,最小值=GH;(3)由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,可得到點(diǎn)F的坐標(biāo),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)G的坐標(biāo),然后分為QG=FG、QG=QF,F(xiàn)Q=FQ三種情況求解即可.
          【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】從2開(kāi)始,連續(xù)的偶數(shù)相加,它們和的情況如表:

          加數(shù)的個(gè)數(shù)n

          S

          1

          2=1×2

          2

          2+4=6=2×3

          3

          2+4+6=15=3×4

          4

          2+4+6+8=20=4×5

          5

          2+4+6+8+10=30=5×6


          (1)根據(jù)表中的規(guī)律猜想:用n的式子表示S的公式為:S=2+4+6+8+…+2n=;
          (2)如下數(shù)表是由從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)組成,觀察規(guī)律:

          ①第n行的第一個(gè)數(shù)可用含n的式子表示為;

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,在ABC 中,AB=AC,C=70°,AB′C′ABC 關(guān)于直線 EF對(duì)稱,∠CAF=10°,連接 BB′,則∠ABB′的度數(shù)是(

          A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】探索與發(fā)現(xiàn):

          (1)若直線a1a2,a2a3,則直線a1a3的位置關(guān)系是__________,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          (2)若直線a1a2,a2a3a3a4,則直線a1a4的位置關(guān)系是________(直接填結(jié)論,不需要證明)

          (3)現(xiàn)在有2 011條直線a1,a2a3,,a2 011,且有a1a2,a2a3,a3a4,a4a5,請(qǐng)你探索直線a1a2 011的位置關(guān)系.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】在△ABC中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足為M,點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AC.
          (1)如圖1,若AB=3 ,BC=5,求AC的長(zhǎng);
          (2)如圖2,點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn),MD=MC,點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn),EC=AC,連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F,且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn),求證:∠BDF=∠CEF.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)分別在軸,軸的正半軸上,為邊的中點(diǎn),是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】甲、乙兩地之間有一條筆直的公路,小明從甲地出發(fā)沿公路步行前往乙地,同時(shí)小亮從乙地出發(fā)沿公路騎車前往甲地,小亮到達(dá)甲地停留一段時(shí)間,原路原速返回,追上小明后兩人一起步行到乙地.設(shè)小明與甲地的距離為(m),小亮與甲地的距離為(m),小明與小亮之間的距離為(m),小明行走的時(shí)間為(min).之間的函數(shù)圖象如圖①,之間的函數(shù)圖象(部分)如圖②.

          (1)求小亮從乙地到甲地過(guò)程中(m)(min)之間的函數(shù)表達(dá)式;

          (2)求小亮從甲地返回到與小明相遇的過(guò)程中(m)( min)之間的函數(shù)表達(dá)式;

          (3)在圖②中,補(bǔ)全整個(gè)過(guò)程中(m)(min)之間的函數(shù)圖象,并確定的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】小龍?jiān)趯W(xué)校組織的社會(huì)調(diào)查活動(dòng)中負(fù)責(zé)了解他所居住的小區(qū)450戶居民的家庭收入情況. 他從中隨機(jī)調(diào)查了40戶居民家庭收入情況(收入取整數(shù),單位:元),并繪制了如下的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

          分組

          頻數(shù)

          百分比

          600800

          2

          5

          8001000

          6

          15

          10001200

          45

          9

          22.5

          16001800

          2

          合計(jì)

          40

          100

          根據(jù)以上提供的信息,解答下列問(wèn)題:

          1)補(bǔ)全頻數(shù)分布表.

          2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.

          3)繪制相應(yīng)的頻數(shù)分布折線圖.

          4)請(qǐng)你估計(jì)該居民小區(qū)家庭屬于中等收入(大于1000不足1600元)的大約有多少戶?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,已知線段AB=2,MN⊥AB于點(diǎn)M,且AM=BM,P是射線MN上一動(dòng)點(diǎn),E,D分別是PA,PB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,M,D的圓與BP的另一交點(diǎn)C(點(diǎn)C在線段BD上),連結(jié)AC,DE.

          (1)當(dāng)∠APB=28°時(shí),求∠B和 的度數(shù);
          (2)求證:AC=AB.
          (3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中
          ①當(dāng)MP=4時(shí),取四邊形ACDE一邊的兩端點(diǎn)和線段MP上一點(diǎn)Q,若以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,且Q為銳角頂點(diǎn),求所有滿足條件的MQ的值;
          ②記AP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為F,將點(diǎn)F繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在MN上時(shí),連結(jié)AG,CG,DG,EG,直接寫(xiě)出△ACG和△DEG的面積之比.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案