Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=AC=4cm，于D，點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，速度為1cm/s，點(diǎn)Q沿CA，AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動的時(shí)間為t(s)，

（1）求t為何值時(shí)，；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：AD平分△PQD的面積；
（3）當(dāng)時(shí)，求△PQD面積的最大值.

Answer 1

（1）當(dāng)t=（Q在AC上）時(shí)，；
（2）證明見解析；
（3）當(dāng)t=1時(shí)，△PQD面積的最大值為．

試題分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據(jù)路程=速度×?xí)r間表示出CP和CQ的長，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點(diǎn)．根據(jù)題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；
（3）△PQD面積與t的函數(shù)關(guān)系式，再求最大值即可．
試題解析：（1）當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然不存在；
當(dāng)Q在AC上時(shí)，BP=t，CQ=2x，PC=4-t
∵AB=BC=AC=4cm，
∴∠C=60°
若，則∠QPC=30°
∴PC=2QC，
∴4-t=2×2t，
∴t=，
當(dāng)t=（Q在AC上）時(shí)，；
（2）過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E，

∵∠ODP=90°=∠QEP，∠OPD=∠QPD
∴△ODP∽△QEP
∴
∵當(dāng)時(shí)，BP=t， PD="2-t" ，
又CQ=2t，CE=t，PE=BC-BP-CE=4-t-t=4-2t
∴PD=PE，
∴OD=QE
∵，
∴，
∴AD平分△PQD的面積；
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)△PQD面積為，
∵PD="2-t" ，QE=
∴==
∴當(dāng)t=1時(shí)，△PQD面積的最大值為．