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        1. 【題目】如圖,DABCAB邊上一點,EAC延長線上的一點,且CE=BD。

          1)當AB=AC時,求證:DE>BC

          2)當AB≠AC時,DEBC有何大小關系?給出結論,畫出圖形,并證明。

          【答案】(1)見解析;(2)見解析

          【解析】試題分析:

          1如圖1,過點DDF∥BC,過點CCF∥AB,連接EF,從而可得DF=BC,這樣就把分散的線段集中到了△DEF中,只需證DE>DF即可;易證∠1=∠2,∠3=∠4,∠3>∠5,從而可得∠DFE>∠DEF,∴DE>DF,從而得到:DE>BC;

          2)當ABAC時,我們要分AB>ACAB<AC兩種情況來討論,

          其中AB>AC,AB=AE時,如圖2,結合已知條件此時我們易證△ABC≌△AED,從而得到BC=DE;

          AB>AC,且AB>AE時,如圖3,延長AEF,使AF=AB,在AB上截取AN=AC,易證△ABC≌△AFN,得到∠F=∠B;再過DDM∥BC,過CCM∥BD,得到四邊形DBCM是平行四邊形,由此可得∠DMC=∠B=∠FDM=BC;連接ME,則法通過在△DME中證∠DEM>∠DME得到DM>DE,從而得到BC>DE

          AB>AC,AB<AE時,如圖4,延長ABF,使AF=AE,在AE上截取AN=AD,連接NF,易證△AFN≌△AED,可得∠F=∠AED,∠ABC>∠F得到∠ABC>∠AED;再作DM∥BCCM∥AB,可得四邊形DBCM是平行四邊形,得到DM=BC,∠DMC=∠ABC,就可得∠DMC>∠AED;連接ME,在△DME中通過證∠DME>∠DEM得到DE>DM,就可得到DE>BC

          AB<AC<AE,如圖5,延長ABF,使AF=AE,在AC上截取AN=AD;過點DDM∥BC,過點CCM∥AB,連接ME;同上可證:DE>BC.

          試題解析:

          (1)作DF∥BC,CF∥BD(如圖1),

          □BCFD,從而∠DFC∠B,

          DFBC,CFBD

          BDCE,∴CFCE

          ∴∠1∠2

          ∵ABAC,∴∠ACB∠B

          ∠DFE∠DFC∠1∠B∠1

          ∠ACB∠2∠AED∠2∠DEF,

          即在△DEF中,∵∠DFE∠DEF,

          ∴DEDF,即DEBC

          (2)當AB≠AC時,DEBC的大小關系如下:

          ABACABAE時,DEBC;

          ABACABAE時,DEBC;

          ABACABAE時,DEBC

          ABAC時,DEBC

          證明如下:

          ABACABAE時(如圖2),

          ∵BDCE,∴ABBDAECE,即ADAC

          △ABC△AED中,

          ∵ABAE,∠A∠AACAD,

          ∴△ABC≌△AEDSAS),∴BCED;

          ABACABAE時,

          延長AEF,使AFAB,

          AB上截取ANAC(如圖3),連結NF

          △ABC△AFN中,

          ∵ABAF,∠A∠A,ACAN,

          ∴△ABC≌△AFNSAS),∴∠B∠F

          ∵∠AED∠F,∴∠AED∠B

          D點作DM∥BC,過點CCM∥AB,連結EM,

          則四邊形DBCM為平行四邊形,∴∠DMC∠B,CMBD,DM=BC,

          ∵BD=CE∴CMCE,∴∠CME∠CEM

          ∵∠DMC∠B∠AED,∴∠CME∠DMC∠AED∠CEM,

          ∠DME∠DEM,∴DEDM,∴DEBC;

          ABACABAE時,延長ABF,使AFAE,

          AE上截取ANAD(如圖4),連結NF,

          △AFN△AED中,

          ∵AFAE∠A∠A,ANAD,

          ∴△AFN≌△AEDSAS),

          ∴∠F∠AED,

          ∵∠ABC∠F,

          ∴∠ABC∠AED,

          D點作DM∥BC,過點CCM∥AB,連接EM

          則四邊形DBCM為平行四邊形,

          ∴∠DMC∠ABC,CMBD,

          ∵BDCE,

          ∴CMCE,

          ∴∠CME∠CEM,

          ∵∠DMC∠ABC∠AED

          ∴∠DMC∠CME∠AED∠CEM,

          ∠DME∠DEM

          ∴ DEDM,

          ∴ DEBC;

          ABAC時,此時,AB必小于AE,即ABAE

          延長AB到F,使AFAE,在AE上截取ANAD(如圖5).

          連結NF.在△AFN△AED中,

          ∵AFAE∠A,ANAD,∴△AFN≌△AEDSAS),

          ∴∠F∠AED,即∠F∠4∵∠ABC∠F,∴∠ABC∠AED

          DDM∥BC,過點CCM∥AB,連結CM,

          則四邊形DBCM平行四邊形,∴∠DMC∠ABC,CMBDDM=BC,

          ∵BDCE,∴CMCE∴∠CME∠CEM∵∠DMC∠ABC∠AED,

          ∴∠DMC∠CDE∠AED∠CEM,即∠DME∠DEM,

          ∴DEDM,

          ∴DEBC.

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