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        1. 【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=,點E、F分別在BC、CD上,且∠BAE=30°,DAF=15度.

          (1)求證:DF+BE=EF;

          (2)求∠EFC的度數(shù);

          (3)求AEF的面積.

          【答案】(1)見解析 (2)30° (3)

          【解析】試題分析:

          (1)延長EB至點G,使BG=DF,連接AG,由已知條件易證△ABG≌△ADF,再證△FAE≌△GAE,即可得到EF=EG=GB+BE=DF+BE;

          (2)由在△ADF,∠D=90°,∠DAF=15°,可得∠AFD=90°-15°=75°,結(jié)合△ABG≌△ADF,△AGE≌△AFE,可得AFE=∠AGE=∠AFD=75°,由此即可得到∠EFC=30°;

          (3)在△ABE中由已知條件易得BE=1,CE=,結(jié)合EFC中∠EFC=30°,C=90°,可得CF=,由此即可求得△ECF的面積;由△ABG≌△ADF,△FAE≌△GAE,結(jié)合SAEF=S正方形ABCD-SADF-SAEB-SCEF,即可得到SAEF(S正方形ABCD-SCEF),由此即可求得△AEF的面積了.

          試題解析:

          (1)延長EBG,使BG=DF,連接AG,

          ∵正方形ABCD,

          AB=AD,ABG=ADF=BAD=90°,

          BG=DF,

          ∴△ABG≌△ADF,

          AG=AF,

          ∵∠BAE=30°,DAF=15°,

          ∴∠FAE=GAE=45°,

          AE=AE,

          ∴△FAE≌△GAE,

          EF=EG=GB+BE=DF+BE;

          (2)∵△ADF,∠D=90°,∠DAF=15°,

          ∴∠AFD=90°-15°=75°,

          ∵△ABG≌△ADF,AGE≌△AFE,

          ∴∠AFE=∠AGE=∠AFD=75°,

          ∴∠EFC=180°-DFA-AFE=180°-75°-75°=30°

          (3)AB=BC=,BAE=30°,

          BE=1,CE=-1,

          ∵∠EFC=30°,

          CF=3-,

          ∴SCEFCECF=2-3,

          由(1)知,ABG≌△ADF,FAE≌△GAE,

          SAEF=S正方形ABCD-SADF-SAEB-SCEF=S正方形ABCD-SAEF-SCEF

          SAEF(S正方形ABCD-SCEF)= 3-

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          年齡(單位:歲)

          14

          15

          16

          17

          18

          人 數(shù)

          1

          4

          3

          2

          2

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