Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．△ABC的邊BC在x軸上，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且(n-3)2+

3m-12

=0，點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線BO勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接PA，用含t的代數(shù)式表示△POA的面積；
（3）當(dāng)P在線段BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使△POQ與△AOC全等？若存在，請求出t的值并直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性得出n-3=0，3m-12=0，求出即可；
（2）分為三種情況：當(dāng)0≤t＜

5

2

時(shí)，P在線段OB上，②當(dāng)t=

5

2

時(shí)，P和O重合，③當(dāng)t＞

5

2

時(shí)，P在射線OC上，求出OP和OA，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（3）分為四種情況：①當(dāng)BP=1，OQ=3時(shí)，②當(dāng)BP=2，OQ=4時(shí)，③④利用圖形的對稱性直接寫出其余的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵(n-3)2+

3m-12

=0，
∴n-3=0，3m-12=0，
n=3，m=4，
∴A的坐標(biāo)是（0，4），C的坐標(biāo)是（3，0）；

（2）∵B（-5，0），
∴OB=5，
①當(dāng)0≤t＜

5

2

時(shí)，P在線段OB上，如圖1，
∵OP=5-2t，OA=4，
∴△POA的面積S=

1

2

×OP×AP=

1

2

×（5-2t）×4=10-4t；
②當(dāng)t=

5

2

時(shí)，P和O重合，此時(shí)△APO不存在，即S=0；
③當(dāng)t＞

5

2

時(shí)，P在射線OC上，如備用圖2，
∵OP=2t-5，OA=4，
∴△POA的面積S=

1

2

×OP×AP=

1

2

×（2t-5）×4=4t-10；

（3）當(dāng)P在線段BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在y軸上存在點(diǎn)Q，使△POQ與△AOC全等，
∵P在線段BO上運(yùn)動(dòng)，
∴t≤5÷2=2.5，
①當(dāng)BP=1，OQ=3時(shí)，△POQ和△AOC全等，
此時(shí)t=

1

2

，Q的坐標(biāo)是（0，3）；
②當(dāng)BP=2，OQ=4時(shí)，△POQ和△AOC全等，
此時(shí)t=

2

2

=1，Q的坐標(biāo)是（0，4）；
③④由對稱性可知Q為（0，-3）、（0，-4）
綜上所述，t=

1

2

或1時(shí)，Q的坐標(biāo)是（0，3）或（0，4）或（0，-3）或（0，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是求出符合條件的所有情況，是一道比較容易出錯(cuò)的題目．