Question

已知：在△ABC中，AB＝AC＝a，M為底邊BC上任意一點，過M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q，如圖

(1)求四邊形AQMP的周長；

(2)寫出圖中的兩對相似三角形(不需證明)；

(3)M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形？說明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析　(1)已知△ABC是等腰三角形，其腰長等于a，顯然四邊形AQMP的周長必與△ABC的腰長有關．由已知易得四邊形AQMP是平行四邊形．AQ＝MP是腰長的一部分，因此要看QM與QB的關系，容易推出QB＝QM，因而四邊形AQMP的周長就等于腰長的2倍． 　　(2)因為平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形相似，因此△QBM～△ABC，△PMC～△ABC，當然還有△QBM～△PMC． 　　(3)由(1)知四邊形AQMP是平行四邊形，設想點M在邊BC上移動．當BM＜MC時，QM＜MP；當BM＞MC時．QM＞MP．可想而知當BM＝MC時QM＝MP．于是得解． 　　另一方面，由(1)知QB＝QM，要想使AQ＝QM只要AQ＝QB即可．因為MQ∥是BC的中點即可．故得另一解法． 　　解　(1)PM∥AB，QM∥邊形AQMP為平行四邊形，且∠BMQ＝∠C，∠PMC＝∠B．又∵AB＝AC＝a．∴∠B＝∠C．∴∠BMQ＝∠B＝∠C＝∠PMC．∴QB＝QM，PM＝PC．∴四邊形AQMF的周長為：AQ＋QM＋MP＋PA＝AQ＋QB＋PC＋PA＝AB＋AC＝2a． 　　(2)△ABC～△QBM～△PMC． 　　(3)解法一，當M為底邊BC的中點時，四邊形AQMP為菱形，∵M為底邊BC的中點， 　　∴BM＝CM． 　　由(1)知：∠B＝∠C，∠BMQ＝∠CMP，∴△BQM≌△CPM．∴PM＝QM．由(1)知：四邊形AQMP為平行四邊形． 　　∴四邊形AQMP為菱形． 　　解法二：當M為底邊BC的中點時，四邊形AQMP為菱形．∵M為底邊BC的中點，QM∥AC，∴Q為AB的中點，由(1)知QB＝QM，∴AQ＝QM，由(1)知四邊形AQMP是平行四邊形．∴四邊形AQMP是菱形．