Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，1）的拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），已知點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）聯(lián)結(jié) AB，過點(diǎn)作線段的垂線交拋物線于點(diǎn),如果以點(diǎn)為圓心的圓與拋物線的對稱軸相切，先補(bǔ)全圖形，再判斷直線與⊙的位置關(guān)系并加以證明；

（3）已知點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于，兩點(diǎn)之間.問：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，的面積最大？求出的最大面積.

 

Answer 1

（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為（4,1），

∴設(shè)拋物線解析式為.

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（6，0），∴.∴.

∴.

所以拋物線的解析式為

 (2) 補(bǔ)全圖形、判斷直線BD與⊙相離.

證明：令=0，則，.  ∴點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）.

又∵拋物線交軸于點(diǎn)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），∴.

設(shè)⊙與對稱軸l相切于點(diǎn)F，則⊙的半徑CF=2，

作⊥BD于點(diǎn)E，則∠BEC=∠AOB=90°.

∵，∴.

又∵，∴.

∴∽，∴.

∴，∴.

∴直線BD與⊙相離

(3) 解：如圖，過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn).

∵A（0，-3），（6，0）.

∴直線解析式為.

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

則點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.

  ∴PQ=-()=.

   ∵,

   ∴當(dāng)時，的面積最大為.

∵當(dāng)時，=

  ∴點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）. 

綜上：點(diǎn)的位置是（3，），的最大面積是