Question

【題目】如圖，圓的直徑為，在圓上位于直徑的異側(cè)有定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，已知，點(diǎn)在半圓弧上運(yùn)動(dòng)（不與、重合），過(guò)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

（）求證： ．

（）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到弧中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．

（）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， 的面積最大？并求這個(gè)最大面積．

Answer 1

【答案】（）證明見(jiàn)解析；（）；（）為直徑時(shí)最大， 最大值=．

【解析】試題分析：（1）由圓周角定理知∠CAB=∠CPD，而∠ACB=∠PCD=90°，即可判定△ABC∽△PCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可得結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E．由題意知∠PCB=45°，CE=BE，而又∠CAB=∠CPB，得tan∠CPB=tan∠CAB=，代入數(shù)值可求得PE的值，從而求得PC的值，由（1）知CD=PC，即可求得CD的長(zhǎng)；（3）由題意知，S△PCD=PCCD．由（1）可知，CD=PC即可得S△PCD=PC2．故PC最大時(shí)，S△PCD取得最大值；而PC為直徑時(shí)最大，即可求解．

試題解析：

（）∵為直徑，

∴，

又，

∴，

而，

∴，

∴，

∴．

（）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，過(guò)作于點(diǎn)，

∵為直徑， ， ，

∴， ，

∵是的中點(diǎn)，

∴，

∴，

又，

∴．

∴，

從而，

由（）得．

（）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

，由（）得，

∴，

故最大時(shí)， 取得最大值．

而為直徑時(shí)最大，

∴最大值．