Question

已知對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（0，1），頂點(diǎn)是A（2，0），
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以BP為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)A？若不存在說明理由；若存在，求出符合條件的圓的直徑長(zhǎng)度；
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)P，當(dāng)△ABP能構(gòu)成時(shí)，點(diǎn)M是拋物線上A、P之間的動(dòng)點(diǎn)，求△BMP面積最大值．

Answer 1

分析：（1）此題已知該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上另一點(diǎn)的坐標(biāo)，故可設(shè)頂點(diǎn)式解析式，利用待定系數(shù)法求該拋物線的解析式；
（2）假設(shè)存在，設(shè)出P點(diǎn)，作PD⊥x軸于D，連接AB、AP，可證三角形相似，根據(jù)相似比例，求出P點(diǎn)；
（3）根據(jù)點(diǎn)B、P的坐標(biāo)求得直線BP的直線方程，然后由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以設(shè)M（a，

1

4

a²-

1

2

a+1）（2＜a＜16）．最后由點(diǎn)到直線的距離求得點(diǎn)M到直線BP的距離d=

|a2-8a+4|

2 13

，將其代入三角形的面積公式，利用二次函數(shù)的最值的求法求得△BMP面積最大值．

解答：解：（1）∵對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線的頂點(diǎn)是A（2，0），
∴設(shè)該拋物線的解析式為y=a（x-2）²．
又∵該拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（0，1），
∴1=a（0-2）²，
解得，a=

1

4

．
∴該拋物線的解析式為：y=

1

4

（x-2）²（或y=

1

4

x²-x+1）；

（2）假設(shè)在拋物線上存在一點(diǎn)P，使以BP為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)A，其坐標(biāo)為P（x，y）．
如圖，過點(diǎn)P作PD⊥⊥x軸于D，連接AB、AP．
根據(jù)題意知，點(diǎn)A是以BP為直徑的圓上的一點(diǎn)，則∠BAP=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）．
則易證△AOB∽△PDA，
∴

OB

AD

=

OA

PD

，即

1

x-2

=

2

y

，
∴y=2x-4；
又∵點(diǎn)P是拋物線y=

1

4

（x-2）²上的一點(diǎn)，
∴

y=2x-4 y= 1 4 (x-2)2

，解得

x=2 y=0

或

x=10 y=16

，即點(diǎn)P（2，0）或（10，16）．
①當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，此時(shí)該圓的直徑AB=

12+22

=

5

；
②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（10，16），此時(shí)該圓的直徑BP=

(10-0)2+(16-1)2

=5

13

；

（3）如圖2，由（2）知，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（10，16）時(shí)，點(diǎn)A、B、P能構(gòu)成直角三角形．
由B（0，1），P（10，16）可知，BP=直線BP的解析式為：y=

3

2

x+1，即3x-2y+2=0．
設(shè)M（a，

1

4

a²-

1

2

a+1）（2＜a＜16）．則點(diǎn)M到直線的距離d=

|3a-2( 1 4 a2- 1 2 a+1)|

32+(-2)2

=

|a2-8a+4|

2 13

．
所以S_△BPM=

1

2

BP•d=

1

2

×5

13

×

|a2-8a+4|

2 13

=

5

4

|（a-4）²-12|，則當(dāng)a=4時(shí)，S_△BPM最大=

5

4

×12=15，即△BMP面積最大值是15．

點(diǎn)評(píng)：此題還是考拋物線的性質(zhì)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，第二問探究存在性問題，充分利用圓和梯形的性質(zhì)，綜合性性較強(qiáng)，第三問利用第二問的結(jié)論，要看清題意．