Question

【題目】如圖，D是等邊△ABC的邊BC的中點(diǎn)，E、F分別在AB、AC上，∠EDF+∠A=180°，AE:EB=5:1，EF=，則CF長為__________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

取AB的中點(diǎn)M，連接DM，過點(diǎn)E作EN⊥AC，利用三角形中位線定理及AAS定理證得△DEM≌△DFC，從而得到EM=FC，然后設(shè)EB=x，結(jié)合等邊三角形和含30°的直角三角形的性質(zhì)求得AN=，EN=，NF=，然后利用勾股定理列方程求解，從而求出CF的長度．

解：取AB的中點(diǎn)M，連接DM

∵∠EDF+∠A=180°

∴在四邊形AEDF中，∠AED+∠AFD=180°

又因為∠AFD+∠CFD=180°

∴∠AED=∠CFD

∵D是等邊△ABC的邊BC的中點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)

∴DM∥AC，DM=，DC，AB=AC=BC

∴∠DMB=∠A=∠C=60°，DM=DC

∴△DEM≌△DFC

∴EM=FC

∵AE：EB=5：1

∴設(shè)EB=x，則AE=5x，AB=AC=6x

∴BM=3x，EM=FC=2x，AF=4x

過點(diǎn)E作EN⊥AC

在Rt△AEN中，∠AEN=30°

∴AN=，則EN=，NF=

∴在Rt△ENF中，

解得：x=±1（負(fù)值舍去）

∴CF=4

故答案為：4