Question

（2012•泰州）如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5．OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．
（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若PC=2

5

，求⊙O的半徑和線段PB的長；
（3）若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可；
（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，根據(jù)AB=AC推出5²-r²=(2

5

)2-（5-r）²，求出r，證△DPB∽△CPA，得出

CP

PD

=

AP

BP

，代入求出即可；
（3）根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范圍，再根據(jù)相離得出r＜5，即可得出答案．

解答：解：（1）AB=AC，理由如下：
連接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；

（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，
設(shè)圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，
則AB²=OA²-OB²=5²-r²，
AC²=PC²-PA²=(2

5

)2-（5-r）²，
∴5²-r²=(2

5

)2-（5-r）²，
解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直徑，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
又∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴

CP

PD

=

AP

BP

，
∴

2 5

3+3

=

5-3

BP

，
解得：PB=

6 5

5

．
∴⊙O的半徑為3，線段PB的長為

6 5

5

；

（3）作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，則可以推出OE=

1

2

AC=

1

2

AB=

1

2

52-r2

；
又∵圓O與直線MN有交點，
∴OE=

1

2

52-r2

≤r，

25-r2

≤2r，
25-r²≤4r²，
r²≥5，
∴r≥

5

，
∵25-r²≤4r²
又∵圓O與直線相離，
∴r＜5，
即

5

≤r＜5．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系等知識點的應用，主要培養(yǎng)學生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．本題綜合性比較強，有一定的難度．