Question

【題目】拋物線y=a（x+2）2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A（-1，0），OB=OC．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若把拋物線與直線y=-x-4的交點(diǎn)稱(chēng)為拋物線的不動(dòng)點(diǎn)，若將此拋物線平移，使其頂點(diǎn)為（m，2m），當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn)；

（3）Q為直線y=-x-4上一點(diǎn)，在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB=2∠AQB，且這樣的Q點(diǎn)有且只有一個(gè)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x4x3；(2) m≥；(3) P(2,2+)或(2,2).

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的解析式可以得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=-2，則B點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得，求得OB的長(zhǎng)，則C的坐標(biāo)可以求得，把A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得；

（2）根據(jù)平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，然后根據(jù)拋物線與直線的有交點(diǎn)，列方程組，最后根據(jù)△≥0，求出m的取值范圍；

（3）設(shè)P（-2，m），以P為圓心的圓與直線y=-x-4相切，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．

(1)由拋物線y=a(x+2)+c可知，其對(duì)稱(chēng)軸為x=2，

∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0)，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0)，

∵OB=OC，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).

將A(1,0)、C(0,3)分別代入解析式得,

a+c=0

4a+c=3，

解得a=1，c=1

則函數(shù)解析式為y=x4x3.

(2)由題意平移后的拋物線的解析式為y=(xm)+2m，

由x4=(xm)+2m,得到：x(2m+1)x+m2m4=0，

∵平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn)，

∴△≥0，

∴4m+4m+14(m2m4)0，

解得m≥.

(3)如圖,設(shè)P(2,m),以P為圓心的圓與直線y=x4相切,切點(diǎn)為D,直線y=x4交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于E,則E(2,2)

∴PE=m+2,PD=PE，

∵PA=PD，

∴=1+m，

解得m=2±，故P(2,2+)或(2,2).