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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          如圖,已知拋物線C經過原點,對稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點M,與x軸相交于點N,且tan∠MON=3.
          (1)求拋物線C的解析式;
          (2)將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C′,拋物線C′與x軸的另一交點為A,B為拋物線C′上橫坐標為2的點.
          ①若P為線段AB上一動點,PD⊥y軸于點D,求△APD面積的最大值;
          ②過線段OA上的兩點E,F分別作x軸的垂線,交折線O-B-A于點E1,F1,再分別以線段EE1,FF1為邊作如圖2所示的等邊△EE1E2,等邊△FF1F2.點E以每秒1個單位長度的速度從點O向點A運動,點F以每秒1個單位長度的速度從點A向點O運動.當△EE1E2與△FF1F2的某一邊在同一直線上時,求時間t的值.
          (1)∵對稱軸MN的解析式為x=-3,∴ON=3,
          ∵tan∠MON=3,∴MN=9,
          ∴M(-3,-9),
          ∴設拋物線C的解析式為y=a(x+3)2-9,
          ∵拋物線C經過原點,∴0=a(0+3)2-9,解得a=1,
          ∴拋物線C的解析式為y=(x+3)2-9,即y=x2+6x;

          (2)①∵將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C′,
          ∴拋物線C與拋物線C′關于原點O對稱,
          ∴拋物線C′的解析式為y=-x2+6x,
          ∵當y=0時,x=0或6,
          ∴點A的坐標為(6,0),
          ∵點B在拋物線C′上,且其橫坐標為2,
          ∴y=-22+6×2=8,即點B的坐標為(2,8).
          設直線AB的解析式為y=kx+b,
          6k+b=0
          2k+b=8
          ,
          解得
          k=-2
          b=12

          ∴直線AB的解析式為y=-2x+12,
          ∵點P在線段AB上,
          ∴設點P的坐標為(p,-2p+12),
          ∴S△APD=
          1
          2
          p(-2p+12)=-p2+6p=-(p-3)2+9,
          ∴當p=3時,△APD面積的最大值為9;
          ②如圖,分別過點E2、F2作x軸的垂線,垂足分別為G、H.
          根據(2)①知,直線OB解析式為y=4x,直線AB解析式為y=-2x+12.
          當0<t≤2時,E1在OB上,F1在AB上,
          OE=t,EE1=4t,EG=2
          3
          t,OG=t+2
          3
          t,GE2=2t,
          OF=6-t,FF1=2t,HF=
          3
          t,OH=6-t-
          3
          t,HF2=t,
          ∴E(t,0),E1(t,4t),E2(t+2
          3
          t,2t),
          F(6-t,0),F1(6-t,2t),F2(6-t-
          3
          t,t).
          (Ⅰ)若EE1與FF1在同一直線上,由t=6-t,得t=3,不符合0<t≤2;
          (Ⅱ)若EE2與F1F2在同一直線上,易求得直線EE2的解析式為y=
          3
          3
          x-
          3
          3
          t,
          將F1(6-t,2t)代入,得2t=
          3
          3
          ×(6-t)-
          3
          3
          t,
          解得t=
          3(
          3
          -1)
          2
          ;
          (Ⅲ)若E1E2與FF2在同一直線上,易求得E1E2的解析式為y=-
          3
          3
          x+4t+
          3
          3
          t,
          將F(6-t,0)代入,得0=-
          3
          3
          ×(6-t)+4t+
          3
          3
          t,
          解得t=
          6
          3
          -3
          11
          ;
          當2<t≤4時,E1,F1都在AB上,
          OE=t,EE1=12-2t,EG=6
          3
          -
          3
          t,OG=6
          3
          -
          3
          t+t,GE2=6-t,
          OF=6-t,FF1=2t,HF=
          3
          t,OH=6-t-
          3
          t,HF2=t,
          ∴E(t,0),E1(t,12-2t),E2(6
          3
          -
          3
          t+t,6-t),
          F(6-t,0),F1(6-t,2t),F2(6-t-
          3
          t,t).
          (Ⅰ)若EE1與FF1在同一直線上,由t=6-t,得t=3;
          (Ⅱ)若EE2與F1F2在同一直線上,易求得直線EE2的解析式為y=
          3
          3
          x-
          3
          3
          t,
          將F1(6-t,2t)代入,得2t=
          3
          3
          ×(6-t)-
          3
          3
          t,
          解得t=
          3(
          3
          -1)
          2
          ,不符合2<t≤4;
          (Ⅲ)E1E2與FF2已知在0<t≤2時同一直線上,故當2<t≤4時,E1E2與FF2不可能在同一直線上;
          當4<t<6時,由上面討論的結果,△EE1E2與△FF1F2的某一邊不可能在同一直線上.
          綜上所述,當△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時,t的值為
          3(
          3
          -1)
          2
          6
          3
          -3
          11
          或3.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,Rt△AOB中,∠A=90°,以O為坐標原點建立直角坐標系,使點A在x軸正半軸上,OA=2,AB=8,點C為AB邊的中點,拋物線的頂點是原點O,且經過C點.
          (1)填空:直線OC的解析式為______;拋物線的解析式為______;
          (2)現將該拋物線沿著線段OC移動,使其頂點M始終在線段OC上(包括端點O、C),拋物線與y軸的交點為D,與AB邊的交點為E;
          ①是否存在這樣的點D,使四邊形BDOC為平行四邊形?如存在,求出此時拋物線的解析式;如不存在,說明理由;
          ②設△BOE的面積為S,求S的取值范圍.

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          科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,二次函數y=-mx2+4m的頂點坐標為(0,2),矩形ABCD的頂點B、C在x軸上,A、D在拋物線上,矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內.
          (1)求二次函數的解析式;
          (2)設點A的坐標為(x,y),試求矩形ABCD的周長P關于自變量x的函數解析式,并求出自變量x的取值范圍;
          (3)是否存在這樣的矩形ABCD,使它的周長為9?試證明你的結論.
          (4)求出當x為何值時P有最大值?

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          科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,拋物線y=(x+1)2+k與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,-3)
          (1)求拋物線的對稱軸及k的值;
          (2)拋物線的對稱軸上存在一點P,使得PA+PC的值最小,求此時點P的坐標;
          (3)點M是拋物線上的一動點,且在第三象限.
          ①當M點運動到何處時,△AMB的面積最大?求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標;
          ②當M點運動到何處時,四邊形AMCB的面積最大?求出四邊形AMCB的最大面積及此時點的坐標.

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          科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,OC=4,AO=2OC,且拋物線對稱軸為直線x=-3.
          (1)求該拋物線的函數表達式;
          (2)己知矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上,頂點F、G分別在AC、BC上,設OD=m,矩形DEFG的面積為S,當矩形DEFG的面積S取最大值時,連接DF并延長至點M,使FM=
          2
          5
          DF
          ,求出此時點M的坐標;
          (3)若點Q是拋物線上一點,且橫坐標為-4,點P是y軸上一點,是否存在這樣的點P,使得△BPQ是直角三角形?如果存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖所示,某同學在探究二次函數圖象時,作直線y=m平行于x軸,交二次函數y=x2的圖象于A、B兩點,作AC、BD分別垂直于x軸,發(fā)現四邊形ABCD是正方形.
          (1)求m的值及A、B兩點的坐標;
          (2)如圖所示,將拋物線“y=x2”改為“y=x2-2x+2”,直線CD經過拋物線的頂點P與x軸平行,其它關系不變,求m的值及A、B兩點的坐標.
          (3)如圖所示,將圖中的改為“y=ax2+bx+c(a>0),其它關系不變,請直接寫出m的值及A、B兩點的坐標(用含有a、b、c的代數式表示)
          [提示:拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為(-
          b
          2a
          ,
          4ac-b2
          4a
          ),對稱軸為x=-
          b
          2a
          ].

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          科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

          某養(yǎng)殖專業(yè)戶計劃利用房屋的一面墻修造如圖所示的長方體水池,培育不同品種的魚苗.他已準備可以修高為3m.長30m的水池墻的材料,圖中EF與房屋的墻壁互相垂直,設AD的長為xm.(不考慮水池墻的厚度)
          (1)請直接寫出AB的長(用含有x的代數式表示);
          (2)試求水池的總容積V與x的函數關系式,并寫出x的取值范圍;
          (3)如果房屋的墻壁可利用的長度為10.5m,請利用函數圖象與性質求V的最大值.

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          科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

          已知拋物線y=-x2+2mx-m2-m+3
          (1)證明拋物線頂點一定在直線y=-x+3上;
          (2)若拋物線與x軸交于M、N兩點,當OM•ON=3,且OM≠ON時,求拋物線的解析式;
          (3)若(2)中所求拋物線頂點為C,與y軸交點在原點上方,拋物線的對稱軸與x軸交于點B,直線y=-x+3與x軸交于點A.點P為拋物線對稱軸上一動點,過點P作PD⊥AC,垂足D在線段AC上.試問:是否存在點P,使S△PAD=
          1
          4
          S△ABC?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

          農民張大伯為了致富奔小康,大力發(fā)展家庭養(yǎng)殖業(yè).他準備用40m長的木欄(虛線部分)圍一個矩形的羊圈,為了節(jié)約材料同時要使矩形的面積最大,他利用了自家房屋一面長25m的墻,設計了如圖一個矩形ABCD的羊圈.
          (1)請你求出張大伯矩形羊圈的面積;
          (2)你認為該方案是否合理?為什么?

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