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        1. (2013•黃陂區(qū)模擬)已知:拋物線y=x2+mx+n的頂點(diǎn)D(1,-4)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A,B,C,
          (1)求拋物線的解析式,并求出A,B,C,的坐標(biāo);
          (2)作如圖所示四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC三邊上的矩形EFGH.求矩形EFGH的最大面積;
          (3)MN=
          2
          ,MN是直線y=-x上的一條動(dòng)線段,當(dāng)四邊形AMNC的周長(zhǎng)最小時(shí),求N的坐標(biāo).
          分析:(1)由拋物線y=x2+mx+n的頂點(diǎn)為D(1,-4),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得其頂點(diǎn)式為y=(x-1)2-4,展開即得拋物線的解析式為y=x2-2x-3;令y=0時(shí),解方程x2-2x-3=0,可得與x軸的交點(diǎn)A與B的坐標(biāo),令x=0,可得與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo);
          (2)如題目圖1,設(shè)G(p,0),H(q,0),運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-3x-3,直線BC的解析式為y=x-3,則E(q,-3q-3),F(xiàn)(p,p-3),根據(jù)矩形的性質(zhì)得EF∥x軸,得p-3=-3q-3,則p=-3q,再用含q的代數(shù)式分別表示GH,GF,根據(jù)矩形面積公式得出矩形EFGH的面積=-12(q+
          1
          2
          2+3,然后由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出矩形EFGH的最大面積;
          (3)由于四邊形AMNC的周長(zhǎng)=AM+MN+NC+CA,而MN=
          2
          ,CA=
          10
          ,為定值,所以當(dāng)AM+NC的和最小時(shí),四邊形AMNC的周長(zhǎng)最小.為此,取D1(0,-1)得?AMND,則AM=DN,作D關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)交x軸于點(diǎn)D′(1,0),連接CD′交直線y=-x于點(diǎn)N,此時(shí)AM+NC=ND1+NC=NC+ND′=CD′時(shí)最。\(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CD′的解析式,再與y=-x聯(lián)立組成方程組,即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo).
          解答:解:(1)∵拋物線y=x2+mx+n的頂點(diǎn)為D(1,-4),
          ∴拋物線的頂點(diǎn)式為y=(x-1)2-4,即為y=x2-2x-3,
          當(dāng)y=0時(shí),x2-2x-3=0,解得x=-1或3,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),
          當(dāng)x=0時(shí),y=-3,即C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3);

          (2)如題目圖1,設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(p,0),H點(diǎn)坐標(biāo)為(q,0).
          易求直線AC的解析式為y=-3x-3,直線BC的解析式為y=x-3,
          ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(q,-3q-3),F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(p,p-3),
          ∵矩形EFGH中,EF∥HG,
          ∴p-3=-3q-3,∴p=-3q,
          ∴GH=p-q=-4q,GF=|p-3|=3-p=3+3q,
          ∴矩形EFGH的面積=GH•GF=-4q(3+3q)=-12q2-12q=-12(q+
          1
          2
          2+3,
          ∴當(dāng)q=-
          1
          2
          時(shí),矩形EFGH的面積最大,最大面積為3;

          (3)取D1(0,-1),連接AD1,則AD1=MN=
          2
          ,AD1∥MN,
          ∴四邊形AMND1是平行四邊形,AM=DN.
          在x軸上取點(diǎn)D′(1,0),連接CD′交直線MN:y=-x于點(diǎn)N,則DO=D′O=1,∠D1ON=∠D′ON=45°,
          ∴MN是線段D1D′的垂直平分線,即D1與D′關(guān)于直線MN對(duì)稱,
          ∴ND1=ND′,
          ∴AM+NC=ND1+NC=ND′+NC=CD′最小,則四邊形AMNC的周長(zhǎng)最。
          運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CD′的解析式為y=3x-3,
          y=3x-3
          y=-x
          ,解得
          x=
          3
          4
          y=-
          3
          4
          ,
          ∴N的坐標(biāo)為(
          3
          4
          ,-
          3
          4
          ).
          點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到拋物線的頂點(diǎn)式,二次函數(shù)的最值,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的解析式,矩形的面積,軸對(duì)稱-最短路線問題,函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          1
          3
          1
          3

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          4或14
          4或14

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          (2013•黃陂區(qū)模擬)正△ABC的兩邊上的點(diǎn)M,N滿足BM=AN,BN交于CN于點(diǎn)E
          (1)求證:BM2=ME•MC;
          (2)△BCE沿著BC向下翻折到△BCF,延長(zhǎng)CF和BF交AB于P,交AC于K,若正△ABC邊長(zhǎng)是10,求BP•CK的值;
          (3)當(dāng)E為BN的中點(diǎn)時(shí),
          BM
          MA
          =
          5
          -1
          2
          5
          -1
          2
          (直接寫出比值)

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