Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)。
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？ 若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C（0，-2）， ∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2， 將A（4，0），B（1，0）代入， 得， 解得， ∴此拋物線的解析式為；
（2）存在， 如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 當(dāng)1＜m＜4時(shí)，AM=4-m，-2， ∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①當(dāng)時(shí)， △APM∽△ACO， 即4-m=2， 解得m1=2，m2=4（舍去）， ∴P（2，1）； ②當(dāng)時(shí)， △APM∽△CAO， 即， 解得m1=4，m2=5（均不合題意，舍去）， ∴當(dāng)1＜m＜4時(shí)，P（2，1）， 類似地可求出當(dāng)m>4時(shí)，P（5，-2）， 當(dāng)m<1時(shí)，P（-3，-14）， 綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；
（3）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 過D作y 軸的平行線交AC于E， 由題意可求得直線AC的解析式為， ∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∴ ∴ ∴當(dāng)t=2時(shí)，△DAC的面積最大， ∴D（2，1）。