Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上(不與點(diǎn)C，D重合)，連接AE，BD交于點(diǎn)F.

（1）若點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，AB＝2，求AF的長(zhǎng).

（2）若∠AFB＝2，求的值.

（3）若點(diǎn)G在線段BF上，且GF＝2BG，連接AG，CG，設(shè)＝x，四邊形AGCE的面積為，ABG的面積為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由可得DE的長(zhǎng)，利用勾股定理可得AE的長(zhǎng)，又易證，由相似三角形的性質(zhì)可得，求解即可得；

（2）如圖（見解析），連接AC與BD交于點(diǎn)O，由正方形的性質(zhì)可知，，，設(shè)，在中，可求出，從而可得DF和BF的長(zhǎng)，即可得出答案；

（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，可得DE、AO、BO、BD的長(zhǎng)，由可得BF的長(zhǎng)，又根據(jù)可得BG的長(zhǎng)，從而可得的面積，用正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積可得四邊形AGCE的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的最大值.

（1）為CD中點(diǎn)，

，

，即

又

；

（2）如圖，連接AC與BD交于點(diǎn)O

由正方形的性質(zhì)得，

設(shè)

在中，

，

；

（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，則

由（1）知，

又

又

又

由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為.