Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O，直線y=

3

4

x-6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且A，B兩點(diǎn)也是⊙M與該直線的交點(diǎn)．
（1）求出A，B的坐標(biāo)；
（2）若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸且經(jīng)過點(diǎn)M，頂點(diǎn)C在⊙M上且拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，求此拋物線的函數(shù)解析式；
（3）在（2）的條件下，判斷是否存在x軸上的點(diǎn)P，使以P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）令已知的直線的解析式中x=0，可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)易得到M點(diǎn)坐標(biāo)，若拋物線的頂點(diǎn)C在⊙M上，那么C點(diǎn)必為拋物線對(duì)稱軸與⊙O的交點(diǎn)；根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到⊙M的半徑及C點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可；
（3）在（2）中已經(jīng)求得了C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到AC、BC的長(zhǎng)；由圓周角定理知∠ACB=90°，所以此題可根據(jù)兩直角三角形的對(duì)應(yīng)直角邊的不同來求出不同的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）直線y=

3

4

x-6中，y=0，則x=8；x=0，則y=-6；
∴A（8，0），B（0，-6）；

（2）由于AB是⊙M的直徑，則有：M（4，-3）；
Rt△OAB中，OA=8，OB=6，由勾股定理得：AB=10；
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）或（4，-8）；
當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）²+2（a≠0），則有：
a×16+2=-6，解得a=-

1

2

；
當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-8）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a′（x-4）²-8（a′≠0），則有：
a′×16-8=-6，解得a′=

1

8

；
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

（x-4）²+2或y=

1

8

（x-4）²-8；
即y=-

1

2

x²+4x-6或y=

1

8

x²-x-6；

（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)；
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠POB=90°；
需要分兩種情況：
①當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為C（4，2）時(shí)，AC=2

5

，BC=4

5

；
若以P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有：△POB∽△ACB或△POB∽△BCA；
得：

PO

BO

=

AC

BC

=

1

2

或

PO

BO

=

BC

AC

=2；
∵OB=6，∴OP=3或12，即P（3，0）或（12，0）；
②當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為C′（4，-8）時(shí)，由于CC′、AB同為⊙M的直徑，所以四邊形AC′BC是矩形，則△ACB與△AC′B全等，所以此種情況同①；
因此存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0）或（12，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，需注意的是當(dāng)兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不明確的情況下需要分類討論，以免漏解．