Question

3．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PC為切線，割線PAB經(jīng)過圓心O．
（1）若PB=12，PC=4$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑長；
（2）作∠BPC的角平分線交BC于D，求∠CDP的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，PO=PB-OB=12-r，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PCO=90°，則利用勾股定理得到r²+（4$\sqrt{3}$）²=（12-r）²，然后解方程即可；
（2）在Rt△POC中，由于OC=4，OP=8，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠OPC=30°，然后根據(jù)角平分線定義得到∠CDP的度數(shù)．

解答 解：（1）連結(jié)OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，PO=PB-OB=12-r，
∵PC為切線，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
在Rt△POC中，∵OC²+PC²=PO²，
∴r²+（4$\sqrt{3}$）²=（12-r）²，解得r=4，
即⊙O的半徑為4；
（2）在Rt△POC中，∵OC=4，PO=8，
∴∠OPC=30°，
∵PD平分∠BPC，
∴∠CDP=15°．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．