Question

（1）求證：不論m為何值，關(guān)于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）總有兩個不等的實數(shù)根．
（2）二次函數(shù)y=2x²-4mx+m²-1的圖象與x軸有交點嗎？請說明理由．
（3）請你根據(jù)前兩問得到的啟示，利用二次函數(shù)y=2x²-4x+1的圖象，求出x取何值時y＞0．

Answer 1

分析：（1）先把關(guān)于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）化為一元二次方程的一般形式，再根據(jù)△＞0時方程由兩個不相等的實數(shù)根得到關(guān)于m的不等式，求出m的值即可；
（2）先求出△的表達(dá)式，再根據(jù)△的取值范圍即可作出判斷；
（3）先判斷出拋物線的開口方向，再求出拋物線與x軸的兩交點坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象在x軸上方時y＞0即可解答．

解答：解：（1）原方程可化為：2x²-4mx+m²-1=0，
∵△=（-4m）²-4×2（m²-1）=8m²+8＞0，
∴關(guān)于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）總有兩個不等的實數(shù)根；

（2）∵△=（-4m）²-4×2（m²-1）=8m²+8＞0，
∴二次函數(shù)y=2x²-4mx+m²-1的圖象與x軸總有兩個不同的交點；

（3）∵二次函數(shù)y=2x²-4x+1中，a=2＞0，
∴此函數(shù)的圖象開口向上，
∵x=

-b± b2-4ac

2a

=

4± (-4)2-4×2

2×2

=1±

2

2

，
∴二次函數(shù)y=2x²-4x+1的圖象與x軸的交點為（1+

2

2

，0），（1-

2

2

，0），
∴當(dāng)x＞1+

2

2

或x＜

2

2

時y＞0．

點評：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點問題，能把二次函數(shù)的解與解一元二次方程結(jié)合起來是解答此題的關(guān)鍵．