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        1. 【題目】問題探究:
          (1)已知:如圖1,在正方形ABCD中,點E、H分別在BC、AB上,若AE⊥DH于點O,求證AE=DH;

          類比探究:
          (2)如圖2,在正方形ABCD中,點H,E,G,F(xiàn)分別在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于點O,探究線段EF與HG的數(shù)量關系,并說明理由;
          拓展應用:
          (3)已知,如圖3,在(2)問條件下,若BC=4,E為BC的中點,AF= AD,求HG的長

          【答案】
          (1)

          證明:∵四邊形ABCD是正方形,

          ∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.

          ∴∠HAO+∠OAD=90°.

          ∵AE⊥DH,

          ∴∠ADO+∠OAD=90°.

          ∴∠HAO=∠ADO,

          在△ABE和△DAH中

          ,

          ∴△ABE≌△DAH(ASA),

          ∴AE=DH.


          (2)

          解:EF=GH.

          理由:如圖2,將FE平移到AM處,則AM∥EF,AM=EF.

          將GH平移到DN處,則DN∥GH,DN=GH.

          ∵EF⊥GH,

          ∴AM⊥DN,

          根據(jù)(1)的結論得AM=DN,

          所以EF=GH;


          (3)

          解:如圖3,

          過點F作FP⊥BC于點P,

          ∵四邊形ABCD是正方形,BC=4,

          ∴AD=BC=AB=FP=4,

          ∵E為BC的中點,AF= AD,

          ∴BE=2,AF=1,

          ∴PE=2﹣1=1,

          在Rt△FPE中,EF= = ,

          由(2)得:HG=EF,

          ∴HG=


          【解析】(1)由正方形的性質得AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.所以∠HAO+∠OAD=90°,又知∠ADO+∠OAD=90°,所以∠HAO=∠ADO,于是△ABE≌△DAH,可得AE=DH;(2)將FE平移到AM處,則AM∥EF,AM=EF,將GH平移到DN處,則DN∥GH,DN=GH.根據(jù)(1)的結論得AM=DN,所以EF=GH;(3)過點F作FP⊥BC于點P,利用勾股定理得出EF的長,進而得出HG的長.
          【考點精析】關于本題考查的正方形的性質,需要了解正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案.

          練習冊系列答案
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          (1)求去年該農家樂餐飲和住宿的利潤各為多少萬元?

          (2)今年羅南洲把去年的餐飲利潤全部用于繼續(xù)投資,增設了土特產的實體店銷售和網(wǎng)上銷售項目.他在接受記者采訪時說:我預計今年餐飲和住宿的利潤比去年會有10%的增長,加上土特產銷售的利潤,到年底除收回所有投資外,還將獲得不少于10萬元的純利潤.請問今年土特產銷售至少有多少萬元的利潤?

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          A.
          B.
          C.
          D.

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