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        1. 在等腰△ABC中,已知AB=AC=5cm,BC=6cm,動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā),沿AB、BC方向勻速移動,它們的速度都是1 cm/秒.當點P到達點B時,P、Q兩點停止運動,設點P的運動時間為t(秒).
          (1)當t為何值時,PQ⊥AB?
          (2)設四邊形APQC的面積為ycm2,寫出y關于t的函數(shù)關系式及定義域;
          (3)分別以P、Q為圓心,PA、BQ長為半徑畫圓,若⊙P與⊙Q相切,求t的值;
          (4)在P、Q運動中,△BPQ與△ABC能否相似?若能,請求出AP的長;若不能,請說明理由.
          精英家教網(wǎng)
          分析:(1)過A作AH⊥BC,垂足為H,根據(jù)三角函數(shù)cos∠B得出等量關系,求出t的值;
          (2)等量關系S四邊形APQC=S△ABC-S△BPQ得出y關于t的函數(shù)關系式及定義域;
          (3)以P、Q為圓心,PA、BQ長為半徑畫圓,若⊙P與⊙Q相切,兩圓只能外切,根據(jù)圓與圓的外切位置關系,求t的值;
          (4)△BPQ與△ABC相似,∠B公共,∠A=∠BPQ,或∠A=∠BQP,得出AP的長.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)過A作AH⊥BC,垂足為H,
          ∵AB=AC,AH⊥BC,
          ∴BH=
          1
          2
          BC=3.(1分)
          又∵PQ⊥AB,
          ∴cos∠B=
          BH
          AB
          =
          BP
          BQ
          .(1分)
          3
          5
          =
          5-t
          t

          ∴t=
          25
          8
          .(1分)

          (2)過P作PM⊥BC,垂足為M,
          ∵PM⊥BCAH⊥BC,
          ∴PM∥AH.
          BP
          BA
          =
          PM
          AH
          .(1分)
          5-t
          5
          =
          PM
          4

          ∴PM=4-
          4
          5
          t
          .(1分)
          ∴S△PBQ=2t-
          2
          5
          t2

          y=S△ABC-S△PBQ=12-2t+
          2
          5
          t2
          .(1分)
          ∴定義域:0<t<5.(1分)

          (3)∵PA=BQ=t,
          ∴兩圓只能外切.(1分)
          過Q作QN⊥AB,垂足為N,
          ∵sin∠B=
          AH
          AB
          =
          4
          5

          在Rt△BNQ中,
          ∴QN=
          4
          5
          t
          ,BN=
          3
          5
          t
          ,PN=5-
          8
          5
          t

          又∵∠PNQ=90°,
          (2t)2=(5-
          8
          5
          t)2+(
          4
          5
          t)2
          .(1分)
          ∴t=-10+
          5
          2
          21
          精英家教網(wǎng)

          (4)能,有二種情況:
          ①∵△BPQ∽△BAC,
          BP
          BA
          =
          BQ
          BC
          .(1分)
          5-t
          5
          =
          t
          6

          ∴t=
          30
          11
          .(1分)
          ②∵△BPQ∽△BCA,
          BP
          BC
          =
          BQ
          BA
          .(1分)
          5-t
          6
          =
          t
          5

          ∴t=
          25
          11
          .(1分)
          ∴當t=
          30
          11
          或t=
          25
          11
          秒時,兩個三角形相似.
          即當AP=
          30
          11
          或AP=
          25
          11
          秒時,兩個三角形相似.
          點評:本題綜合考查了直線與圓、圓與圓的位置關系,相似三角形的判定和性質(zhì),是一個探究性性的題目,一定要分析各種情況,不要落漏.
          練習冊系列答案
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          (1)當BD長為何值時,以點F為圓心,線段FA為半徑的圓與BC邊相切;
          (2)過點F作FP⊥AC,與線段DE交于點G,設BD長為x,△EFG的面積為y,求y關于x的函數(shù)解析式及其定義域.

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          (2)過點F作FP⊥AC,與線段DE交于點G,設BD長為x,△EFG的面積為y,求y關于x的函數(shù)解析式及其定義域.

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