Question

學(xué)以致用
問(wèn)題：任意給定一個(gè)矩形，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半？
討論：小明說(shuō)：一定存在．
小華說(shuō)：一定不存在．
小紅說(shuō)：不一定存在．
探究：老師和大家一起舉例說(shuō)明：（1）如果已知矩形的長(zhǎng)和寬和面積分別為7和1，那么它的周長(zhǎng)和面積分別16和7，則所求的矩形周長(zhǎng)和面積應(yīng)為8和3.5；
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：周長(zhǎng)為8，面積為3.5的矩形是否存在？
我們假設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為x，固定它的周長(zhǎng)為8，則它的寬為

 

可列出方程

 

解得：

 

所以：

 

（2）①如果矩形的長(zhǎng)和寬分別為5和1，這時(shí)情況如何？
②綜上所得，你認(rèn)為

 

的說(shuō)法正確．

Answer 1

分析：設(shè)出新矩形的一邊長(zhǎng)為未知數(shù)，根據(jù)周長(zhǎng)表示出另一邊長(zhǎng)，根據(jù)面積得到方程求解即可．

解答：（1）設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為x，固定它的周長(zhǎng)為8，則它的寬為 4-x，
可列出方程 x（4-x）=3.5
解得：x₁=2+

2

，x₂=2-

2

所以：矩形的長(zhǎng)為2+

2

．
（2）①如果矩形的長(zhǎng)和寬分別為5和1，則矩形的周長(zhǎng)為12，面積為5，
∴新矩形的周長(zhǎng)為6，面積為2.5．
設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為x，固定它的周長(zhǎng)為6，則它的寬為 3-x，
可列出方程 x（3-x）=2.5
△＜0，沒(méi)有實(shí)數(shù)根
所以不存在這樣的矩形；
②由以上兩個(gè)結(jié)論可得小紅的說(shuō)法正確；
故答案為：（1）4-x；x（4-x）=3.5；x₁=2+

2

，x₂=2-

2

；矩形的長(zhǎng)為2+

2

．
（2）②小紅．

點(diǎn)評(píng)：考查一元二次方程在幾何圖形中的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：矩形的一邊長(zhǎng)=周長(zhǎng)的一半-另一邊長(zhǎng)．