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        1. 正方形ABCD的頂點A在直線MN上,點O是對角線AC、BD的交點,過點O作OE⊥MN于點E,過點B作BF⊥MN于點F.

          (1)如圖1,當O、B兩點均在直線MN上方時,易證:AF+BF=2OE(不需證明)
          (2)當正方形ABCD繞點A順時針旋轉至圖2、圖3的位置時,線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關系?請直接寫出你的猜想,并選擇一種情況給予證明.
          (1)見解析   (2)見解析

          思路分析:(1)過點B作BG⊥OE于G,可得四邊形BGEF是矩形,根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BG,BF=GE,根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OG=AE,OE=BG,再根據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證;
          (2)選擇圖2,過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G,可得四邊形BGEF是矩形,根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BG,BF=GE,根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OG=AE,OE=BG,再根據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證;選擇圖3同理可證.
          解:(1)證明:如圖,過點B作BG⊥OE于G,
          則四邊形BGEF是矩形,
          ∴EF=BG,BF=GE,
          在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,
          ∵BG⊥OE,
          ∴∠OBG+∠BOE=90°,

          又∵∠AOE+∠BOE=90°,
          ∴∠AOE=∠OBG,
          ∵在△AOE和△OBG中,

          ∴△AOE≌△OBG(AAS),
          ∴OG=AE,OE=BG,
          ∵AF-EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE-GE=OE-BF,
          ∴AF-OE=OE-BF,
          ∴AF+BF=2OE;
          (2)圖2結論:AF-BF=2OE,
          圖3結論:AF-BF=2OE.
          對圖2證明:過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G,
          則四邊形BGEF是矩形,
          ∴EF=BG,BF=GE,
          在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,
          ∵BG⊥OE,
          ∴∠OBG+∠BOE=90°,
          又∵∠AOE+∠BOE=90°,
          ∴∠AOE=∠OBG,
          ∵在△AOE和△OBG中,

          ∴△AOE≌△OBG(AAS),
          ∴OG=AE,OE=BG,
          ∵AF-EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE+GE=OE+BF,
          ∴AF-OE=OE+BF,
          ∴AF-BF=2OE;
          若選圖3,其證明方法同上.
          點評:本題考查了正方形的性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),同角的余角相等的性質(zhì),作輔助線構造出全等三角形與矩形是解題的關鍵,也是本題的難點.
          練習冊系列答案
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