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        1. 【題目】如圖①所示,在△ABC中,點O是AC上一點,過點O的直線與AB,BC的延長線分別相交于點M,N.

          【問題引入】

          (1)若點O是AC的中點, ,求的值;

          溫馨提示:過點A作MN的平行線交BN的延長線于點G.

          【探索研究】

          (2)若點O是AC上任意一點(不與A,C重合),求證: ;

          【拓展應(yīng)用】

          (3)如圖②所示,點P是△ABC內(nèi)任意一點,射線AP,BP,CP分別交BC,AC,AB于點D,E,F(xiàn).若, ,求的值.

          【答案】(1)(2)證明見解析(3)

          【解析】試題分析:(1)AGMNBN延長線于點G,ABG∽△MBN,

          ,同理可證ACG∽△OCN,結(jié)合AO=CO,NG=CN,從而由進行求解,

          (2),可知: ,

          (3)(2)可知,ABD中有, ACD中有,

          從而,因此可得: .

          (1)解:過點A作MN的平行線交BN的延長線于點G.∵ON∥AG,∴.∵O是AC的中點,∴AO=CO,∴NG=CN.∵MN∥AG,∴,.

          (2)證明:由(1)可知,,····1.

          (3)解:在△ABD中,點P是AD上一點,過點P的直線與AB,BD的延長線分別相交于點F,C.由(2)可得··1.在△ACD中,過點P的直線與AC,CD的延長線分別相交于點E,B.由(2)可得··1.∴····,·×.

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