Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接、．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)E為第三象限拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，，直線與拋物線交于點(diǎn)F，設(shè)直線的表達(dá)式為．

①如圖①，直線與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)G，若，求k、b的值；

②如圖②，直線與y軸交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)H，若，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①k=，b=，②.

【解析】

（1）把代入，求出a的值，即可；

（2）①由，DG=FG，由，∠GMD=∠OBC=30°，過(guò)點(diǎn)G作GN∥x軸，過(guò)點(diǎn)F作FN∥y軸，交于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)H，則∠FGN=30°，設(shè)DG=FG=m，得：點(diǎn)F坐標(biāo)是：（1+，），代入二次函數(shù)得解析式，可得：點(diǎn)F坐標(biāo)是：（5，），由∠GMD=30°和待定系數(shù)法，分別可得k，b的值；

②由直線與y軸交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)H，，可得：，∠EMO=∠OCB=60°，∠HOB=60°，∠MOH=∠MHO=30°，MH=MO=b，作EG⊥y軸，FN⊥y軸，則，ME=EG，MF=FN，設(shè)點(diǎn)E，F的很坐標(biāo)分別是： ，，由，得到關(guān)于b的方程，即可求解.

（1）把代入得：，解得：，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；

（2）① 由第（1）題，可知：A(-1，0)，B(3，0)，，

∴OB=3，OC=，BC==，

∴∠OBC=30°，

∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，

∴D坐標(biāo)為（1，0），即OD=1，BD=2，

∴CD=，

∴BD=CD，

∵，

∴DG=FG，

∵，

∴∠GMD=∠OBC=30°，

過(guò)點(diǎn)G作GN∥x軸，過(guò)點(diǎn)F作FN∥y軸，交于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)H，則∠FGN=30°，如圖①，

設(shè)DG=FG=m，則，，，

∴FH=FN+NH=，OH=OD+DH=1+，

∴點(diǎn)F坐標(biāo)是：（1+，），

∴，解得：，（舍）

∴點(diǎn)F坐標(biāo)是：（5，），

∵∠GMD=30°，可設(shè)直線的表達(dá)式為，

把（5，）代入，得：，解得：b=，

∴直線的表達(dá)式為：，即：k=，b=.

②∵直線與y軸交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)H，，

∴，∠EMO=∠OCB=60°，∠HOB=60°，∠MOH=∠MHO=30°，

∴MH=MO=b，

作EG⊥y軸，FN⊥y軸，則，ME=EG，MF=FN，

設(shè)點(diǎn)E，F的很坐標(biāo)分別是： ，

聯(lián)立，得：，

化簡(jiǎn)得：，

∴ +=3，=，

∵，

∴，即：，

化簡(jiǎn)得：，

∴，解得：b=