Question

已知y=m²+m+4，若m為整數(shù)，在使得y為完全平方數(shù)的所有m的值中，設(shè)m的最大值為a，最小值為b，次小值為c．（注：一個數(shù)如果是另一個整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個數(shù)為完全平方數(shù)．）
（1）求a、b、c的值；
（2）對a、b、c進(jìn)行如下操作：任取兩個求其和再除以

2

，同時求其差再除以

2

，剩下的另一個數(shù)不變，這樣就仍得到三個數(shù)．再對所得三個數(shù)進(jìn)行如上操作，問能否經(jīng)過若干次上述操作，所得三個數(shù)的平方和等于2008證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：設(shè)m²+m+4=k²（k為非負(fù)整數(shù)），則有m²+m+4-k²=0，由m為整數(shù)知其△為完全平方數(shù)，即1-4（4-k²）=p²（p為非負(fù)整數(shù)），（2k+p）（2k-p）=15，顯然2k+p＞2k-p，再分別求出a、b、c的值即可．

解答：解：（1）設(shè)m²+m+4=k²（k為非負(fù)整數(shù)），則有m²+m+4-k²=0，
由m為整數(shù)知其△為完全平方數(shù)，即1-4（4-k²）=p²（p為非負(fù)整數(shù)），（2k+p）（2k-p）=15，顯然2k+p＞2k-p，
所以

2k+p=15 2k-p=1

或

2k+p=5 2k-p=3

，解得p=7或p=1，
所以m=

-1+p

2

，得m₁=3，m₂=-4，m₃=0，m₄=-1，
所以a=3，b=-4，c=-1．
（2）三個數(shù)，任意兩個求其和，再除以

2

，同求其差，再除以

2

，剩下的一個數(shù)不變，經(jīng)過兩次這樣的操作就又變成原來的三個數(shù)了，即（

m+n

2

）²+（

m-n

2

）²+p²=m²+n²+p²，而3²+（-4）²+（-1）²≠2008．所以，對a、b、c進(jìn)行若干次操作后，不能使所得三個數(shù)的平方和等于2008．

點評：本題考查了對完全平方數(shù)的理解，拓展應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，要打破思維常規(guī)進(jìn)行分析．