Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

3

4

x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，二次函數(shù)y=ax²-4ax+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C（-1，0），頂點(diǎn)為P．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)D在二次函數(shù)圖象的對稱軸上，且AD∥BP，求PD的長；
（3）在（2）的條件下，如果以PD為直徑的圓與圓O相切，求圓O的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知直線的解析式，可求得A、B的坐標(biāo)，然后將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式；利用配方法將所得拋物線解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，進(jìn)而可求得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）由（1）的P點(diǎn)坐標(biāo)知：拋物線的對稱軸為x=2，因此拋物線對稱軸經(jīng)過AB的中點(diǎn)，設(shè)此交點(diǎn)為E，若BP∥AD，那么PE=DE，根據(jù)拋物線的對稱軸方程易求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得到PE的長，根據(jù)PD=2PE即可得解；
（3）由（2）知E是PD的中點(diǎn)，OE的長易求得，比較ED、OE的大小后發(fā)現(xiàn)，DE＞OE，若⊙E、⊙O相切，那么只有內(nèi)切一種情況，故兩圓的半徑差等于圓心距，由此求得⊙O的半徑．

解答：解：（1）因?yàn)橹本�y=-

3

4

x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B；
由x=0，得y=3，y=0，得x=4，
所以A（4，0），B（0，3）；
把C（-1，0），B（0，3）代入y=ax²-4ax+c中，
得

c=3 a+4a+c=0

，
解得

c=3 a=- 3 5

；
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-

3

5

x2+

12

5

x+3；
y=-

3

5

(x-2)2+

27

5

，P點(diǎn)坐標(biāo)為P(2，

27

5

)；

（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線y=-

3

4

x+3交于E點(diǎn)，與x軸交于F點(diǎn)；
把x=2代入y=-

3

4

x+3
得，y=

3

2

，
∴E(2，

3

2

)，
∴PE=

27

5

-

3

2

=

39

10

；
∵PE∥OB，OF=AF，
∴BE=AE，
∵AD∥BP，
∴PE=DE，PD=2PE=

39

5

；

（3）∵E(2，

3

2

)，
∴OE=

4+ 9 4

=

5

2

，
∴ED＞OE；
設(shè)圓O的半徑為r，以PD為直徑的圓與圓O相切時(shí)，只有內(nèi)切，
∴|

39

10

-r|=

5

2

，
解得：r1=

32

5

，r2=

7

5

，
即圓O的半徑為

32

5

或

7

5

．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圓與圓的位置關(guān)系等知識，難度適中．