Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y=ax2+ c(a≠0)．

（1）若拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)B(4，0)，且過(guò)點(diǎn)P(1，–3)，求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若a>0，c =0，OA、OB是過(guò)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的兩條互相垂直的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)分別交于A、B 兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0，)；

（3）若a>0，c <0，拋物線(xiàn)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B左邊)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上且位于第四象限．直線(xiàn)PA、PB與y軸分別交于M、N兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）為定值，=

【解析】

（1）把點(diǎn)B(4，0)，點(diǎn)P(1，–3)代入y=ax2+ c(a≠0)，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）如圖作輔助線(xiàn)AE、BF垂直x軸，設(shè)A(m，am2)、B(n，an2)，由△AOE∽△OBF，可得到，然后表示出直線(xiàn)AB的解析式即可得到結(jié)論；

（3）作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，設(shè)P（m，am2+c）、A（–t，0）、B（t，0），則at2+c=0， c= –at2

由PQ∥ON，可得ON=amt+at2，OM= –amt+at2，然后把ON，OM，OC的值代入整理即可.

（1）把點(diǎn)B(4，0)，點(diǎn)P(1，–3)代入y=ax2+ c(a≠0)，

，

解之得

，

∴；

（2）如圖作輔助線(xiàn)AE、BF垂直x軸，設(shè)A(m，am2)、B(n，an2)，

∵OA⊥OB，

∴∠AOE=∠OBF，

∴△AOE∽△OBF，

∴，，，

直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)A(m，am2)、點(diǎn)B(n，an2)，

∴過(guò)點(diǎn)（0，）;

（3）作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，設(shè)P（m，am2+c）、A（–t，0）、B（t，0），則at2+c=0， c= –at2

∵PQ∥ON，

∴，

ON=====at(m+t)= amt+at2，

同理：OM= –amt+at2，

所以，OM+ON= 2at2=–2c=OC，

所以，=.