Question

【題目】已知AC＝DC，AC⊥DC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，作DB⊥MN，垂足為B，連接CB．

（1）直接寫出∠D與∠MAC之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）①如圖1，猜想AB，BD與BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖2，直接寫出AB，BD與BC之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）在MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)∠BCD＝30°，BD＝時(shí)，直接寫出BC的值．

Answer 1

【答案】（1）相等或互補(bǔ)；（2）①BD+AB＝BC；②AB﹣BD＝BC；（3）BC＝ 或.

【解析】

（1）分為點(diǎn)C，D在直線MN同側(cè)和點(diǎn)C，D在直線MN兩側(cè),兩種情況討論即可解題,

（2）①作輔助線,證明△BCD≌△FCA，得BC＝FC，∠BCD＝∠FCA,∠FCB＝90°,即△BFC是等腰直角三角形,即可解題, ②在射線AM上截取AF＝BD，連接CF，證明△BCD≌△FCA，得△BFC是等腰直角三角形,即可解題,

（3）分為當(dāng)點(diǎn)C，D在直線MN同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)C，D在直線MN兩側(cè)，兩種情況解題即可,見詳解.

解：（1）相等或互補(bǔ)；

理由：當(dāng)點(diǎn)C，D在直線MN同側(cè)時(shí)，如圖1，

∵AC⊥CD，BD⊥MN，

∴∠ACD＝∠BDC＝90°，

在四邊形ABDC中，∠BAD+∠D＝360°﹣∠ACD﹣∠BDC＝180°，

∵∠BAC+∠CAM＝180°，

∴∠CAM＝∠D；

當(dāng)點(diǎn)C，D在直線MN兩側(cè)時(shí)，如圖2，

∵∠ACD＝∠ABD＝90°，∠AEC＝∠BED，

∴∠CAB＝∠D，

∵∠CAB+∠CAM＝180°，

∴∠CAM+∠D＝180°，

即：∠D與∠MAC之間的數(shù)量是相等或互補(bǔ)；

（2）①猜想：BD+AB＝BC

如圖3，在射線AM上截取AF＝BD，連接CF．

又∵∠D＝∠FAC，CD＝AC

∴△BCD≌△FCA，

∴BC＝FC，∠BCD＝∠FCA

∵AC⊥CD

∴∠ACD＝90°

即∠ACB+∠BCD＝90°

∴∠ACB+∠FCA＝90°

即∠FCB＝90°

∴BF＝

∵AF+AB＝BF＝

∴BD+AB＝；

②如圖2，在射線AM上截取AF＝BD，連接CF，

又∵∠D＝∠FAC，CD＝AC

∴△BCD≌△FCA，

∴BC＝FC，∠BCD＝∠FCA

∵AC⊥CD

∴∠ACD＝90°

即∠ACB+∠BCD＝90°

∴∠ACB+∠FCA＝90°

即∠FCB＝90°

∴BF＝

∵AB﹣AF＝BF＝

∴AB﹣BD＝；

（3）①當(dāng)點(diǎn)C，D在直線MN同側(cè)時(shí)，如圖3﹣1，

由（2）①知，△ACF≌△DCB，

∴CF＝BC，∠ACF＝∠ACD＝90°，

∴∠ABC＝45°，

∵∠ABD＝90°，

∴∠CBD＝45°，

過點(diǎn)D作DG⊥BC于G，

在Rt△BDG中，∠CBD＝45°，BD＝，

∴DG＝BG＝1，

在Rt△CGD中，∠BCD＝30°，

∴CG＝DG＝，

∴BC＝CG+BG＝+1，

②當(dāng)點(diǎn)C，D在直線MN兩側(cè)時(shí)，如圖2﹣1，

過點(diǎn)D作DG⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于G，

同①的方法得，BG＝1，CG＝，

∴BC＝CG﹣BG＝﹣1

即：BC＝ 或，