Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的邊AO在x軸的負(fù)半軸上，邊OB在y軸的負(fù)半軸上．且AO＝12，OB＝9．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A和點B．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在第二象限的拋物線上找一點M，連接AM，BM，AB，當(dāng)△ABM面積最大時，求點M的坐標(biāo)；

（3）點D是線段AO上的動點，點E是線段BO上的動點，點F是射線AC上的動點，連接EF，DF，DE，BD，且EF是線段BD的垂直平分線．當(dāng)CF＝1時．

①直接寫出點D的坐標(biāo)　 　；

②若△DEF的面積為30，當(dāng)拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過平移同時過點D和點E時，請直接寫出此時的拋物線的表達(dá)式　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣12+3，0)或(﹣3，0)，②y＝﹣x2﹣x﹣4

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法把問題轉(zhuǎn)化為解方程組即可解決問題．

（2）如圖1中，設(shè)M（m，﹣m2﹣m﹣9），根據(jù)S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．

（3）①分兩種情形：如圖2中，當(dāng)點F在AC的延長線設(shè)時，連接DF，FB．設(shè)D（m，0）．根據(jù)FD＝FB，構(gòu)建方程求解．當(dāng)點F在線段AC上時，同法可得．

②根據(jù)三角形的面積求出D，E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解決問題即可．

解：（1）由題意A（﹣12，0），B（0，﹣9），

把A，B的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，

得到，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x﹣9．

（2）如圖1中，設(shè)M（m，﹣m2﹣m﹣9），

S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB

＝×9×（m+12）+×12×（﹣m2﹣m﹣9+9）﹣×12×9

＝﹣6m2﹣72m

＝﹣6（m+6）2+216，

∵﹣6＜0，

∴m＝﹣6時，△ABM的面積最大，此時M（﹣6，31.5）．

（3）①如圖2中，當(dāng)點F在AC的延長線設(shè)時，連接DF，FB．設(shè)D（m，0）．

∵EF垂直平分線段BD，

∴FD＝FB，

∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），

∴102+（m+12）2＝122+12，

∴m＝﹣12﹣3（舍棄）或﹣12+3，

∴D（﹣12+3，0）．

當(dāng)點F在線段AC上時，同法可得D（﹣3，0），

綜上所述，滿足條件的點D的坐標(biāo)為（﹣12+3，0）或（﹣3，0）．

故答案為（﹣12+3，0）或（﹣3，0）．

②由①可知∵△EF的面積為30，

∴D（﹣3，0），E（0，﹣4），

把D，E代入y＝﹣x2+b′x+c′，

可得，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x﹣4．

故答案為：y＝﹣x2﹣x﹣4．